GDA I - Teste 2.2 - Interseção reta / plano

Representa as projeções do ponto “I” de interseção da reta “r” com o plano alfa
O plano alfa contém as retas n e f concorrentes no ponto A(0;4;4).
A reta n é horizontal e faz um ângulo de 30º ae com o PFp
A reta f é frontal e faz um ângulo de 45º ae com o PHp
A reta “r” é passante, contém o ponto R(5;1:4) e concorre com o eixo do x num ponto com 8 de abcissa

PDF da resolução

Teste GDA I - 2.1b - Intersecção Reta / Plano

Teste GDA I - 2.1a - Intersecção de Planos

GDA I - Teste 1.2

Enunciados:    Versão A     Versão B

1.   Representa pelas suas projeções a reta “r” que contém os pontos

 A(-4; 3; 5)    e     B(-8; -2; 9)

- Determina os seus pontos notáveis H (de cota nula) e F (de afastamento nulo)

- Representa os traços do plano de rampa a, que contém a reta r

- Determina um ponto P com 5 de abcissa e 6 de afastamento situado no plano a representado.

2.   Representa pelas suas projeções o triângulo [ABC]

(acentua os lados do polígono e prolonga as retas a traço fino)

A com 6 de abcissa, 5 de afastamento e pertencente ao b₁₃

B (2; 1; 5) e C (8; 7; 7)

- Representa as retas h e f, respetivamente de cota nula e de afastamento nulo, complanares com o triângulo [ABC]

- Indica o nome e as caraterísticas do plano que representaste

- Representa um ponto P desse plano, com 5 de abcissa e pertencente ao b₁₃

3.    Representa pelas suas projeções a reta “i” de interseção entre os planos a e b.

- Ambos os planos intersetam o eixo do X na origem das coordenadas, ou seja no ponto (0;0;0) 

- O traço horizontal do plano a faz 60º ad e o seu traço frontal faz 30º ad com o eixo dos X

- O traço horizontal do plano b faz 30º ad e o seu traço frontal faz 30º ae com o eixo dos X.

- Determine o ponto P, com 2 de afastamento, situado nos planos a e b 

 4.    Representa as projeções da reta “i” de interseção dos planos a e b

- O plano a contém o ponto A(0;4;4). As suas retas horizontais fazem ângulos de 30º ad com o PFp e as suas retas frontais fazem ângulos de 45º ad com o PHp

- O plano b contém os pontos M(-11 ; 4 ; -2) N(1,5 ; 7 ; 2) e O(0 ; 4 ; 2)    

Exercícios de Exame

Compilação de Exercícios da Aproged/Exames Nacionais para os próximos testes:

10.º ano  GDA I
- Relação Ponto Reta Plano

11.º ano  GDA II
- Sombras

Mais provas de exame e as respetivas resoluções em: http://www.aproged.pt/examesgeometria.html

Exame 2011 1.ª fase - Resolução alternativa

Para além das 4 soluções que consegui encontrar para esta Questão 1 venho aqui apresentar a quinta solução possível e que, acreditem, nem é necessário encontrar a projecção frontal da recta "b".

Nesta proposta foram identificadas 2 rectas do plano delta e colocadas 2 rectas paralelas às anteriores a passar no ponto "P".

As 2 rectas que passam em "P" definem um plano paralelo ao plano delta. (logo todas as rectas desse plano são paralelas a delta)

Determinamos a recta (i) de intersecçaõ desse plano com o bissector dos diedros pares ... fácil .... basta procurar os pontos dessas rectas que resultam do cruzamento das projeções (frontal e horizontal) em ambas as rectas, conseguindo dessa forma 2 pontos comuns ao plano delta  e ao beta 24 e representando a recta que os une (com projecções coincidentes  .. claro).

Como sabemos à partida que o ponto "I" tem as projecções coincidentes basta encontrar o cruzamento da recta anterior com a projecção horizontal da recta "b", ou seja b1 com i1
Desta forma o ponto "I" é do beta 24 e pertence à recta "b" já que se situa num plano paralelo a delta e a sua projecção 1 se situa sobra b1.

Reparem que nesta solução não é representada a recta "b" (mas apenas a sua projecção horizontal) e no entanto é identificada a intersecção dessa recta "b" com o bissector dos diedros ímpares.

Para ajudar à compreensão desta solução resolvi em PDF com layers para que possam seguir os passos: Aqui

Exame 2011 2.ª fase - PDF Interactivo - Questão 1

Consultar o PDF Aqui

Teoria - Intersecções

Determine o ponto I de intersecção entre a recta r e o plano .
A recta « r » contém o ponto Fr (4;0;4) e as suas projecções fazem ambas ângulos de 45º ad com o eixo dos X
O Plano  intersecta o eixo dos X no ponto A (-4;0;0) e os seus traços fazem ambos ângulos de 45º ae com o referido eixo

Consultar o PDF aqui

Apoio Exame Questão Tipo 1

Amanhã (Qua 22) será feita uma revisão sobre exercícios do Tipo 1 ou seja:
- Relação Ponto / Recta / Plano
- Intersecções
- Paralelismo e Perpendicularidade


Seg 27 - Questões Tipo 2 - Problemas Métricos (Distâncias e Ângulos)  Figuras Planas e Sólidos II
Ter 28 - Questões Tipo 3 - Sólidos III  Sombras  Secções
Qua 29 - Questões Tipo 4 - Axonometrias e Revisões globais


Qui 30 - Apocalipse

Portfólio de Sara Semelhe

Agradece-se a quem tem exercícios resolvidos com boa qualidade que os forneça para servir para as "gerações" seguintes.

Clique na imagem para aceder aos desenhos desta aluna (alguns não estão completos)

Exame Nacional - Questão Tipo 1 - Relação Ponto/Recta/Plano ou Perpendicularidade/Paralelismo

Em dupla projecção ortogonal, determinar projecções de entidades geométricas elementares, condicionadas por relações de pertença (incidência), paralelismo, perpendicularidade, ou resultantes de intersecções (em particular, §§ 3.1 a 3.3, 3.5, 3.6, 3.11 e 3.12 do Programa).
Ou seja:
Relação de pertença entre Ponto Recta e Plano (conteúdos do Bloco I).
Paralelismo e Perpendicularidade
Exercícios:
Exames Nacionais de 
Desenho e Geometria Descritiva B 
(409) na 1.ª e 2.ª questão e 
(109) na 1.ª questão:
Procurar em APROGED

Anos Anteriores
1001 Perpendicularidade
1002 Paralelismo
0901 Intersecção de Planos
0902 Intersecção 2 planos
0801 Intersecção recta de perfil com plano de rampa
0802 Paralelismo recta a 2 planos
0701 Intersecção recta de nível com plano de rampa
0702 Perpendicularidade - Plano Perpendicular a Plano
0601 Intersecção de Planos Rampa e Oblíquo
0602 Perpendicularidade - Recta Perpendicular a Plano

Prognóstico 2011 : Não há

Partes do Programa:
3.1 Ponto 3.1.1 Localização de um ponto 3.1.2 Projecções de um ponto 3.2 Segmento de recta 3.2.1 Projecções de um segmento de recta
3.2.2 Posição do segmento de recta em relação aos planos de projecção:
- perpendicular a um plano de projecção: de topo, vertical - paralelo aos dois planos de projecção: fronto-horizontal (perpendicular ao plano de referência das abcissas) - paralelo a um plano de projecção: horizontal, frontal - paralelo ao plano de referência das abcissas: de perfil - não paralelo a qualquer dos planos de projecção: oblíquo
3.3 Recta 3.3.1 Recta definida por dois pontos 3.3.2 Projecções da recta 3.3.3 Ponto pertencente a uma recta 3.3.4 Traços da recta nos planos de projecção e nos planos bissectores 3.3.5 Posição da recta em relação aos planos de projecção
3.3.6 Posição relativa de duas rectas - complanares - paralelas - concorrentes - enviesadas
3.5 Plano
3.5.1 Definição do plano por: - 3 pontos não colineares - uma recta e um ponto exterior - duas rectas paralelas - duas rectas concorrentes (incluindo a sua definição pelos traços nos planos de projecção)
3.5.2 Rectas contidas num plano 3.5.3 Ponto pertencente a um plano
3.5.4 Rectas notáveis de um plano:
- horizontais - frontais - de maior declive - de maior inclinação
3.5.5 Posição de um plano em relação aos planos de projecção
Planos projectantes: - paralelo a um dos planos de projecção: horizontal (de nível), frontal (de frente) - perpendicular a um só plano de projecção: de topo, vertical - perpendicular aos dois planos de projecção: de perfil (paralelo ao plano de referência das abcissas)
Planos não projectantes: - de rampa (paralelo ao eixo X e oblíquo aos planos de projecção - perpendicular ao plano de referência das abcissas); passante (contém o eixo X) - oblíquo (oblíquo em relação ao eixo X e aos planos de projecção)
3.6 Intersecções (recta/plano e plano/plano) 3.6.1 Intersecção de uma recta projectante com um plano projectante 3.6.2 Intersecção de uma recta não projectante com um plano projectante 3.6.3 Intersecção de dois planos projectantes 3.6.4 Intersecção de um plano projectante com um plano não projectante 3.6.5 Intersecção de uma recta com um plano (método geral) 3.6.6 Intersecção de um plano (definido ou não pelos traços) com o β24 ou β13 3.6.7 Intersecção de planos (método geral)
3.6.8 Intersecção de um plano (definido ou não pelos traços) com um: - plano projectante - plano oblíquo - plano de rampa 
3.6.9 Intersecção de três planos
3.11 Paralelismo de rectas e de planos
3.11.1 Recta paralela a um plano 3.11.2 Plano paralelo a uma recta 3.11.3 Planos paralelos (definidos ou não pelos traços)
3.12 Perpendicularidade de rectas e de planos 3.12.1 Rectas horizontais perpendiculares e rectas frontais perpendiculares 3.12.2 Recta horizontal (ou frontal) perpendicular a uma recta 3.12.3 Recta perpendicular a um plano 3.12.4 Plano perpendicular a uma recta 3.12.5 Rectas oblíquas perpendiculares 3.12.6 Planos perpendiculares

Teste GDA II - 3.3 - Q1

Questão 1         15min      intersecções

Determine o ponto de intersecção I da recta r com o plano passante a

Dados

- o plano passante a é definido pelo ponto A(0;9;3) e pelo eixo dos X

- a recta r é definida pelos pontos R (0; 4; 3) e “S” com 5 de abcissa e 7 de cota pertencente ao bissector dos diedros pares

Teste GDA I - 3.2 - Q1

Questão 1                       Intersecção plano / plano

20 min
Represente, pelos seus traços, o Plano a que contém os pontos  A(7;2;1), B(6;1;4), C(9;1;2)
Represente um Plano b de Rampa cujo traço frontal tem 4cm de cota e o traço horizontal tem 5cm de afastamento.
Determine a recta de intersecção dos dois planos representados anteriormente (a e b), ou seja, a recta que pertence tanto ao plano a como ao plano b.

Teste GDA I - 3.2 - Q2

Questão 2                       Intersecção Recta / Plano                

25 min                                                

Determine o ponto de intersecção I da recta r com o plano de rampa a

- o plano de rampa a é definido pelos ponto A(-3;9;3) e B(1;2;8)

- a recta r é definida pelos pontos R (0; 4; 3) e S, com 5 de abcissa e 7 de cota pertencente ao bissector dos diedros impares

Teste GDA I - 2.3 - Q1

Questão 1                       Intersecção plano / plano

20 min

Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.

Dados

· o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;

· os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

· o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P(0;3;6).

Teste GDA I - 2.3 - Q2

Questão 2                       Intersecção Recta / Plano                

25 min                                                

Determine o ponto de intersecção I da recta r com o plano de rampa a

Dados

- o plano de rampa a é definido pelos ponto A(-9;9;3) e B(1;2;8)

- a recta r é definida pelos pontos R (0; 4; 3) e S, com 5 de abcissa e 7 de cota pertencente ao bissector dos diedros impares

Teste GDA I - 2.2 - Q1

1.    Determine as projecções do ponto “I” de intersecção entre a recta “r” e o plano a

O plano a contém os pontos A(0;5:2) e B(3;3;6) e o seu traço horizontal faz 35º ae com o eixo dos “X”

A recta “r” contém o ponto H(-2;4:0) e as suas projecções formam ambas 45º ad com o eixo dos “X”

Teste GDA I - 2.1 - Q1

1.     Determine a recta “i” de intersecção do plano de topo a com o plano oblíquo b.

O plano a é de topo e contém os pontos A(5;4;2) e B(2;4;5)

O plano b intersecta o eixo dos X num ponto com -11 de abcissa e os seus traços, horizontal e frontal formam com o eixo dos X respectivamente ângulos de 60º ae e 45º ae

Teste GDA I - 2.1 - Q2

1.     a) Represente, pelos seus traços, o plano de rampa a que contém o ponto A(6;4;3) e o ponto B, com 8 de abcissa, 2 de afastamento e pertencente ao bissector dos diedros pares b₂₄

Represente a recta “r” que contém o ponto R(-7;-5;5) e faz ângulos com o eixo dos X de 60º ae e 35º ad, respectivamente na projecção horizontal e na projecção frontal.

b) Determine o ponto “I” de intersecção da recta com o plano representados na alínea anterior

Teste GDA I - 2.1 - Q3

a) Represente a pirâmide quadrangular regular, segundo os dados:

A Base [ABCD] está situada num plano horizontal com 2 de cota e tem como vértices os seguintes pontos:

“A” com 4 de abcissa e pertencente ao bissector dos diedros ímpares b₁₃

“B” com -4 de abcissa e 5 de afastamento

O sólido tem 9 de altura

b) Represente os traços do plano a que contém a face [BCV]

c) Determine os pontos E,S de entrada e saída da recta r no sólido.

A recta r contém o ponto R(-7; 4,5 ; 1) e as suas projecções fazem ambas ângulos de 30º ae com o eixo dos X.

Assinale todas as linhas invisíveis a traço interrompido e a pontilhado a parte da recta situada no interior do sólido.

Resolução de Gisele Araújo