15 de julho de 2009

Exame GDA - 2 fase - Proposta de Resolução

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Esta prova foi, segundo os alunos "à porta das urnas", mais difícil que a da primeira fase. Acreditamos que sim. Julgamos que a não inclusão de um exercício mais fácil e um outro muito difícil não contribui para uma verdadeira avaliação dos examinandos.
Neste exame todas as questões estão no mesmo patamar de grau de dificuldade, ou por serem casos particulares ou por todas as questões terem pelo menos um "grão de areia"
Julgamos muito mais correctas as provas do ano passado, verdadeiramente "progressivas" em termos de dificuladade.
Julgamos também que seria importante indicar aos examinandos se em determinados sólidos devem ser ou não assinaladas as invisibilidades, não dizer nada só serve para criar confusão desnecessária. (estamos a falar, concretamente da questão 3)


Questão 1
Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.
Dados
– o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).
Este exercício foi amplamente trabalhado no bloco I.
Optamos por colocar duas rectas ("p" e "n"), uma de cada plano (neste caso ambas de nível), coincidentes na projecção frontal, a concorrência delas dá-nos o segundo ponto comum aos dois planos.
Nota 1: Nos critérios atribui-se 1 ponto à identificação dos traços de teta, no entanto tal não é solicitado no enunciado
Nota 2: No processo de resolução consideramos redundante a utilização de um "plano auxiliar", conforme demonstra esta resolulção tal plano não é necessário.


Questão 2

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.
Dados
– o traço frontal do plano α intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).
Para determinarmos a distância entre os dois planos paralelos, bastou fazer passar por um ponto (P) do plano beta, uma recta ortogonal ao plano alfa. Encontrada a intersecção dessa recta com o plano alfa obtemos a distância revelada no segmento [P I]. A V.G. foi obtida por uma rotação.


Questão 3
Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados
– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;
– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– as diagonais da base medem 10 cm;
– o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];
– a pirâmide tem 12 cm de altura.
Este problema deu bastante trabalho.
Foi feito um primeiro rebatimento do plano oblíquo para determinar as projecções da base do sólido.
Colocou-se o eixo da pirâmide perpendicular ao plano da base, contendo o seu centro.
Foi ainda necessário rodar o eixo anterior de forma a poder aplicar o valor da alura do sólido.

No enunciado não havia qualquer referência acerca das invisibilidades, julgo portanto, que serão consideradas totalmente correctas as soluções que incluem e as que não incluem as indicações das arestas invisíveis.

Nota 1: Nos critérios atribuem 2 pontos à representação do traço frontal do plano, no entanto não só ão é solicitado como não é necessário segundo esta proposta de resolução.Nota 2: Nos critérios atribuem 4 pontos às invisibilidades mas tal não é solicitado em lado algum.

Questão 4
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico: – dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.
Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.
Esta questão parece-nos já familiar, consulte o teste 3.2 aqui

Nesta solução não rebatemos o par de eixos XZ já que se tratava de uma dimetria e ... não ficaria muito bem na nossa pequena folha A4. Na folha de exame havia espaço suficiente pelo que o rebatimento de 2 pares de eixos seria o processo mais comum.

Optamos portanto por determinar o centro das bases do prisma hexagonal recorrendo a um triângulo determinado no par de eixos XY em rebatimento.

Como exemplo de "economia de recursos" pensamos que os critérios de classificação deveriam ponderar esta questão.

34 comentários:

Catarina disse...

bloqueei no 3º exercício e, o ponto D dava-me fora do diedro... comecei a inventar... pode ser que me contem alguma coisa... mas a axonometria deste foi mais fácil do que da primeira fase...

Anónimo disse...

nao sei como é possivel os traços do plano estarem correctos se no exame diz k abertura é para à esquerda e ai na proposta está para a direita???

Anónimo disse...

Uufffa.. é desta que acertei os 4, no teste passado errei apenas o último da axonometria, foi o que bastou para ficar sem 4 valores.Mas desta está bem.

Catarina tinhas que encontar os pontos do quadarado rebatendo os 2 pontos dados e contra rebatendo o 4 chegando ao centro do quadrado,depois traçavas uma recta prependicular ao plano onde estava contido a piramide;rebatias essa recta através de um plano vertical ou de topo(os mais simples na minha opinião)e só depois de estar rebatido marcavas a altura se não me engano era 12cm e era só contra-rebater.E finalizando só unir ao vertice tendo atenção às invisibilidades.

Anónimo disse...

o exame n foi nada facil para kem ta la dentro.

mas, vendo bem, o nivel d dificuldade era baixo

Anónimo disse...

boa noite, sou aluna do 12º ano e realizei o exame de Geometria Descritiva A o ano passado, conseguindo o resultado pretendido.
fe facto, no 3 exercicio existe la uma gralha, no que diz respeito à marcação das invisibilidades q nao sao mencionadas. o que é certo é que nos criterios de correcção sao desvaloridos 0.4 valores a quem nao as acentuar. grande estupidez que só vai prejudicar os alunos. Em provas nacionais´penso que é uma vergonha isto acontecer. espero que retifiqem para q os alunos nao saiam prejudicados!

João Paulo Araújo disse...

De facto, acabei de consultar os critérios de correcção ... atribuem 4 pontos às invisibilidades, isto agora bateu mesmo no fundo. Não sei como é que um corrector vai enquadrar esta situação ...

Inês disse...

Desde já dido-lhe que adorei o seu blog professor, nao sou sua aluna, infelizmente, mas vi aqui muito mais disponibilidade de ajuda do que na minha propria escola, [onde nao consegui ajuda com nenhum professor de geometria descritiva!].
Gostava de lhe perguntar sobre o exercicio 1 deste exame.
Fiz por outro metodo: passei um plano de perfil auxiliar na abcissa de P.
Fiz a sua intersecção com o plano obliquo (recta de perfil).
Depois usei a 3ª projecçao e representei a recta de perfil e o plano passante (através de P3).
A intersecção da recta de perfil com o plano passante, em 3ª projecção, deu-me o ponto I.
Contrarebati-o para a recta de perfil de abcissa=0, encontrando I1 e I2.
Encontrei a soluçao do problema fazendo passar por I uma recta passante cuja intersecção com x era o mesmo ponto do plano obliquo.
A solução foi tal e qual a sua, mas nao sei se o processo de resoluçao é valido, poderia esclarecer-me?
obrigada!

Inês

João Paulo Araújo disse...

Olá Inês,

O seu proceso de resolução parece-me tão válido quanto o que aqui é apresentado como "proposta". Muitos dos meus alunos resolveram o exercício exactamente da mesma forma que vc descreveu. Penso que terá a totalidade da cotação. Obrigado pela participação neste blogue.

Anónimo disse...

Fiz hoje o exame no exercicio da piramide bloquei totalmente cheguei a fazer o exercicio 4 vezes e mesmo assim axo que não está completamente certo.

Achei os exames pouco acessiveis, tanto o da 1º fase como o de hoje.

Muito trabalhosos tambem

Ariel º º disse...

Oh GOD, posso fazer o exame de novo? va laaaaa'! xD tambem bloqueei no 3º exercicio! xD
Obrigado por teres colocado tao rapidamente a correcção!

Bohinhas de ar*

Ariel

Inês disse...

Obrigadíssima pela sua atençao! :)

Rain Of Bullets disse...

estou mesmo desiludida :S
sou aluna do do 11º ano, tenho média de 19 à disciplina, fui com 19 ao exame e tirei 7 na primeira fase, e esta nao sei mas deve ir pelo mesmo caminho, vá lá, apesar de ser mais dificil correu um pouco melhor. Não entendo como posso tirar notas tao baixas nos exames, e notas tao altas nos testes :S

Anónimo disse...

Mo primeiro exercicio, eu penso que fiz mal, mas nao custa nada perguntar... passei pelo ponto P um plano frontal (alfa) e onde o plano intersectava o fPI dava o Fi , depois uni F1i com P1 e deu me a prejecçao i1, e onde i1 intercepta a projecçao horizontal do plano PI tinha o Hi, uni e o H2i com F2i e deu-me o i2. está completamente diferente da sua correcção :/
Está mal?

João Paulo Araújo disse...

Olá Rain,
Duas ou Três possibilidades podem justificar a divergência das tuas classificações:
1. Decoras a GD, fazes muitos exercícios (dos ditos manuais) mas não entendes completamente o que estás a fazer.
2. Nas tuas aulas não foram contempladas as diversas possibilidades das possíveis questões que possivelmente poderiam sair em exame.
3. O Exame é um fraco elemento de avaliação porque, formalmente, não pretende avaliar os teus conhecimentos de GD mas as capacidades que tu tens de te confrontar com situações inesperadas. Os critérios de classificação são, no mínimo questionáveis, o exame é cheio de areia que te confundiu desnecessariamente ....

Escolhe o melhor ponto que se enquadra na tua situação.

Não encontro uma 4.ª situação

Força, tenta outro método, a net pode ajudar.

João Paulo Araújo disse...

Olá anonimo,

Não entendi o processo que adoptaste. Penso que se o teu resultado foi muito diferente do aqui apresentado então deve estar errado. Consulta no entanto outras resoluções disponíveis na net.

margarida disse...

Ola! Tambem realizei hoje o exame, achei relativamente facil. Tenho só uma pergunta sobre o segundo exercicio, que resolvi de outra maneira:

-Determinei, atraves dos pontos que me eram dados, os traços dos dois planos paralelos.
-perpendicular aos dois planos traçei uma recta p, qualquer.
-Introduzi nessa recta um plano vertical e fiz a intersecçao do plano vertical com os outros dois. Deu-me um ponto I e um I'.
- Considerei essa a distancia entre os dois pontos e rebati para descobrir a VG.

Estará correcto?

João Paulo Araújo disse...

Olá Margarida,
Pela descrição parece estar totalmente correcto. Suponho que achou os dois pontos de intersecção dessa recta com os dois planos.
Nesta resolução só necessitamos de uma intersecção porque partimos de um ponto qualquer do plano beta.

Bom trabalho ... digo, boas férias que bem merecemos :-)

Francisco disse...

Desde já boa tarde e muito obrigado por ter sido disponibilizada a correcção do exame da 2ª fase de Geometria Descritiva A. Não compareci na 1ª fase para ter tempo de estudar para matemática a que tenho mais dificuldades e deixei GD para a segunda fase. Segundo esta correcção tenho os exercícios todos correctos (espero não me ter esquecido de nada). O meu único lapso foi ter representado invisibilidades na axionometria e ter unido os 4 pontos da base comum aos dois sólidos. Não devia ter representado duas das arestas dessa base. Serei descontado por isso? Se sim, quanto? Muito obrigado e boas férias para todos ;)

João Paulo Araújo disse...

Boa tarde Francisco,
Julgo que os lapsos cometidos poderão implicar uma perda de cerca de 2 pontos, ou seja 0,2 valores. No entanto consulte os critérios de classificação da prova.

Boas férias

Francisco Castanheira disse...

As invisibilidades não têm de ser mencionadas para serem traçadas. Elas fazem parte do desenho e, à falta de indicações contrárias, devem ser marcadas.
No primeiro e segundo exercícios, por exemplo, também não é pedido que se resolva o exercício em dupla projecção ortogonal e, de facto, só alguém pouco sensato os resolveria noutro sistema.
De qualquer forma, esta é a minha opinião pessoal e, como tal, é tão válida como a do docente.

Francisco Castanheira

Francisco Castanheira disse...

Também considero que o exame não tenha sido mais difícil do que o exame passado, principalmente para os bons alunos que têm capacidade de raciocínio. O presente exame não exigia o traçado de curvas elípticas o que se reflectirá, a meu ver, numa maior facilidade em obter a classificação total em relação aos critérios de rigor.

Francisco Castanheira

João Paulo Araújo disse...

Caro Francisco,
Obrigado por comentar neste blogue.
Penso que o seu "post" diz tudo, "para os bons alunos que têm capacidade de raciocínio" o exame é até muito simples, e haverá certamente muitos vintes.
Julgo, no entanto, que para avaliar e diferenciar todos os níveis dos examinandos deveria haver um exercício muito simples e um outro muito complexo.
À saída do Exame, vi os alunos que foram com 10 desanimados e os que foram com 17 muito satisfeitos porque vão conseguir o 20.
Se a ideia é avaliar apenas a inteligência então seria melhor um campeonato de xadrez ou uma prova de raciocínio. Penso que uma questão mais “standard” poderia motivar os examinandos que não conseguem passar do 6 ou 7 valores no exame nacional.

Mas é apenas a minha opinião, claro

Francisco Castanheira disse...

Não concordo consigo quando defende que deveria existir um exercício mais fácil. Isso seria, a meu ver, 'oferecer' pontos a aluno. O exame realizado a nível nacional serve precisamente para avaliar externamente os conhecimentos dos alunos; ora, 'oferecer' pontos, a meu ver, não avalia.
No entanto, concordo consigo em relação à existência de um exercício de selecção - deveria sim existir um exercício que implicasse um mais complexo raciocínio de modo a diferenciar os alunos que realmente merecem 20, dos que merecem 19, 18, 17, 16 e 15. Creio que é esse o ponto em que o GAVE está em falha.

Francisco Castanheira

ana disse...

sempre tive dificuldade a geometria, nunca consegui compreender aquilo fiz esta segunda fase porque a primeira correu mal so tinha feito 1 exercicio e devem ter cortado o exercicio todo por nao pus tres linhas... neste fiz tres so nao fiz o ultimo porque tinha acabado os 30min d tolerancia e mesmo assim nao devo ter nda de especial so precisava de 5.5 pa ficar a disciplina arrumada.
Para ter 5.5 valores o que precisaria de ter correcto no exame que mos desse?
é que nem sequer preciso desta disciplina futuramente, e nao minha escola é uma disciplina obrigatoria. (ja me falaram de muita que dao outra opçoes) pf de-me a sua opiniao em relaçao a minha pergunta. obrigada

João Paulo Araújo disse...

Olá Ana,
De facto este ano os exames não foram muito bons para os alunos com dificuldades na Geometria, nenhum tinha uma questão verdadeiramente acessível.
Mas já que está numa situação em que só necessita de 5,5, eu cá estudaria bem as axonometrias de forma a não falhar, com a tradução dos dados nas restantes questões o 5,5 seria garantido.

Como alternativa teria que optar pela disciplina de Matemática B ou História da Cultura e das Artes (a que ainda não tem no seu plano de estudos), mas isso depende ainda da oferta da sua escola.

Consulte o quadro do curso em http://www.esec-sa-miranda.rcts.pt/Portug/Escola/oferta/Geral/01-ch.htm

Se não conseguir a nota nesta segunda fase já não contará mais com a classificação interna, ou seja, no próximo ano terá mesmo que atingir um resultado de 9,5 valores no Exame Nacional.

Se conseguiu concluir 3 questões, é possível que consiga atingir os 5,5 necessários. Pena é não ter marcado, pelo menos todos os dados, porque só isso valeria cerca de meio valor em cada questão, ou seja 2 valores no total da prova.

Agora, o que passou passou, vamos acreditar que vai conseguir o que pretende.

Ana disse...

Muito obrigado pela sua resposta.
Eu neste exame da 2ª fase fiz tudo o que podia fazer para conseguir alguns pontos desde escrever os enunciados no papel, e depois marcar bem os pontos e os planos e fazer todos os exercicios para ajudar a ter todos os pontos nas coisas mais básicas. Como já disse fiz os 3 exercicios (em que o terceiro está incompleto, porque fiquei confusa na parte de rebater, e fiquei preocupada com a axonometria que nao tive tempo de fazer, só me deixaram marcar os pontos). Enfim, agora é ter esperança.
Foi uma pena não ter encontrado o seu blog mais cedo. decerto que me iria tirar dúvidas. Não é que a minha professora não tirasse, é uma excelente professora, mas tinha dificuldades em perceber o que ela explicava porcausa da "indisciplina" da turma. E outra coisa que também fez assim um pouco de contraste foi a mudança de stor a meio do ano, porque se reformou e foi chato porque era também um grande professor. Mas enfim, para a próxima (espero que não haja xD) se tiver dúvidas, já sei que posso vir aqui. =)

Ana disse...

Peço desculpa estar sempre aqui! xD
fui ao site que me mostrou e na minha escola infelizmente não fazem isso. Geometria Descritiva A é obrigatório e só podemos optar entre HCA (que é a que tenho) e matemática B. realmente o metódo daquela escola é mais justo. Assim as pessoas que se calhar o curso que querem não precisa de geometria, não sao obrigadas a fazê-lo.

Anónimo disse...
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João Paulo Araújo disse...

Uma vez que um Macaco Bronco colocou aqui um comentário ofensivo a comentários terceiros a colocação de novos “posts” passa a ser controlada. Desculpem, estamos em Portugal e aqui não nos interessam as opinações de Macacos, particularmente dos que são assumidamente BRONCOS.

Anónimo disse...

boas...
desculpe a invasão mas eu gostaria de saber quantos pontos descontam no processo de resolução no exercício 4 se a base do prisma hexagonal for paralela ao zy...apesar deste "pequeno" pormenor tenho tudo bem neste exercício...
agradecia a sua resposta urgentemente para ver se peço a reapreciação do exame ou não...

João Paulo Araújo disse...

No meu entender não será possível "descontar" mais que 7 pontos, 5 na "Apresentação gráfica" e 2 na "Posição das bases". No entanto será de questionar a aplicação da tabela da pág. 3 (50% na apresentação gráfica) já que o erro poderá ser entendido como um lapso na tradução dos dados e, nesse caso, seria apenas passível de desconto os 2 pontos relativos à posição das bases.
Bom trabalho ... e boas férias ...

Marta disse...

Ola, desde ja acho o seu blog uma mais valia, eu anulei a disciplina, nunca consegui compreender e por mais que me esforça-se nao conseguia boas notas, desmotivei-me e anulei, agora quero ir para a faculdade vou fazer o exame como externa estou a ver que nao vou conseguir para além de estar na explicação.Acho que é muito injusto ser obrigatorio a dsciplina de geometria já que eu nao vou precisar dela no meu futuro na faculdade.E já alguns amigos meus estão á 2 anos para terminar esta discplina e nao conseguem, andam na escola a ter uma disciplina , é muito complicado, espero que consiga o 9,5! Boa sorte a todos e obrigado por este blog tao util. cumprimentos

Anónimo disse...

Olá pessoal

Creio que a distância entre planos
(forçosamente paralelos!) poderia ser determinada de modo muito mais simples e com enorme economia de traçado através de uma mudança de diedro (tornando os planos projectantes).
Abraço e bom trabalho

Marcelo Ferreira disse...

se no exercício 3, o aluno esquecesse de marcar uma aresta na projecção horizontal, quanto iam lhe tirar?