Teoria - Rebatimentos e ângulo entre 2 planos

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Exame Nacional - Questão Tipo 2 - Problemas métricos / Figuras Planas

Em dupla projecção ortogonal, resolver um problema métrico, envolvendo o relacionamento de entidades geométricas elementares ou a construção de algumas figuras planas (em particular, §§ 3.4, 3.9, 3.14 e 3.15 do Programa).

Ou seja:
Problemas métricos (ângulos, distâncias, etc)
Figuras planas situadas em qualquer tipo de plano.
Exercícios:
Exames Nacionais de 
Desenho e Geometria Descritiva A 
(408) na 1.ª questão e 
Desenho e Geometria Descritiva B
(409) na 4.ª questão:
Procurar em APROGED

Anos Anteriores
1001 Figura Plana num plano oblíquo
1002 Ângulo entre 2 planos
0901 Ângulo entre 2 rectas
0902 Distância entre 2 planos
0801 Figura Plana Triângulo Isósceles num plano oblíquo.
0802 Ângulo Plano / plano de projecção
0701 Figura Plana Quadrado num plano vertical
0702 Figura Plana Rectângulo num plano de rampa
0601 Ângulo de rectas enviesadas
0602 Figura Plana Quadrado em Plano Oblíquo

Prognóstico: 2011 : Distâncias – Ponto plano, Ponto recta
Partes do Programa:
3.4 Figuras planas I Polígonos e círculo horizontais, frontais ou de perfil
3.9 Figuras planas II Figuras planas situadas em planos verticais ou de topo
3.10 Sólidos II Pirâmides e prismas regulares com base(s) situada(s) em planos verticais ou de topo
3.14 Problemas métricos
3.14.1 Distâncias
3.14.1.1 Distância entre dois pontos
3.14.1.2 Distância de um ponto a uma recta
3.14.1.3 Distância de um ponto a um plano
3.14.1.4 Distância entre dois planos paralelos
3.14.2 Ângulos
3.14.2.1 Ângulo de uma recta com um plano frontal ou com um plano horizontal
3.14.2.2 Ângulo de um plano com um plano frontal ou com um plano horizontal
3.14.2.3 Ângulo de duas rectas concorrentes ou de duas rectas enviesadas
3.14.2.4 Ângulo de uma recta com um plano
3.14.2.5 Ângulo de dois planos
3.15 Figuras planas III Figuras planas situadas em planos não projectantes

Teste GDA II - 3.1 - Q2b

Questão 2                    Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento)
25 min                                  Baseado no Exame 2008  fase 1

Represente pelas suas projecções o triangulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo a.

Dados

– o ponto A (5; 8; 1) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [BC] pertence à recta s;

– o ponto H, traço horizontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de afastamento;

– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

Teste GDA II - 3.1 - Q2

Questão 2                    Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento)
25 min                                  Baseado no Exame 2008  fase 1

Represente pelas suas projecções o triangulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo a.

Dados

– o ponto A (4; 8; 1) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [BC] pertence à recta s;

– o ponto H, traço horizontal da recta s, tem –7 de abcissa e –4 de afastamento;

– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8 cm.

Teste GDA I - 3.2 - Q3

Questão 3                       Sólido com Base(s) em plano(s) projectante(s)

35 min                                                 Coloque a Folha ao alto (retrato)

Represente um cubo com duas faces de perfil, situado no 1ºdiedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
- a face [ABCD] é a face de perfil que se situa mais à direita;
- o vértice A tem 5 de afastamento e 1 de cota;
- o vértice B tem 1 de afastamento e 3 de cota

Teste GDA I - 2.3 - Q3

Questão 3                       Sólido com Base(s) em plano(s) projectante(s)

35 min                                                 Coloque a Folha ao alto (retrato)

Represente um cubo com duas faces de perfil, situado no 1ºdiedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

- a face [ABCD] é a face de perfil que se situa mais à esquerda;
- o vértice A tem 1 de afastamento e 5 de cota;
- o vértice B tem 5 de afastamento e 2 de cota

Teste GDA I - 2.2 - Q2

1.     Esta questão deve ser resolvida pelo método Mudança de Diedros

(colocar a folha na posição retrato pode facilitar a resolução)

Represente um pentágono regular situado num plano vertical, sabendo:

O centro é o ponto O tem -2 de abcissa, 5 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros impares b13

O vértice A tem 0 de abcissa 1 de afastamento e 6 de cota

Teste GDA II - 2.2 - Q1

Questão 1         25min      Sombras de Figuras Planas

Represente pelas suas projecções um triângulo equilátero [ABC], situado num plano de rampa b, de acordo com os seguintes dados:

Os traços do Plano de Rampa distam, ambos, 8cm do eixo dos X.

O lado [AB] faz, na projecção horizontal, 50º ad com o eixo dos X.

O vértice “A” tem 1 de cota e o vértice “B” tem 2 de afastamento

O vértice “C” é o de maior abcissa

Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sua sombra real nos planos de projecção.

Identifique, a traço interrompido, as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.

Identifique as áreas visíveis da sombra projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

GDA II - Teste 1.2

Enunciados:  Versão A  Versão B  Versão C

Questão 1 Paralelismo e Perpendicularidade

Determine os traços do plano  que contém o ponto B (–4;3;4) e é paralelo ao plano .

Dados

– o plano  é definido pelas rectas a e b;

– a recta a contém o ponto A (3;5;5);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 35º de abertura para a direita;

Questão 2 Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento)

Determine as projecções de um pentágono regular [ABCDE], de acordo com os seguintes dados:

- O pentágono está contido no plano oblíquo ;

- O traço frontal do plano plano  faz um ângulo de 45º (ad) e intersecta o eixo dos X num ponto com 5 de abcissa

-.O ponto O(0;4; 3) é o centro do polígono.

- O vétice A situa-se sobre a mesma recta de maior inclinação que o centro “O” e tem 1 de afastamento

Questão 3 Sombras de sólidos

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine a sombra própria do sólido e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.

Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

– a base [ABCD] está contida num plano horizontal;

– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 7 de afastamento;

- o vértice “A” da base tem 6 de abcissa e 6 de afastamento

– o vértice do sólido é o ponto V, com 1 de cota.

Questão 1 Paralelismo e Perpendicularidade ou Distâncias


Determine os traços do plano  que contém o ponto B e é paralelo ao plano .

– o plano  é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto A (-3;5;5);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a esquerda, e de 30º, de abertura para a direita, respectivamente;
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 35º de abertura para a esquerda;
– o plano contém o ponto B (4;3;4).

Questão 2 Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento)


Determine as projecções de um quadrado [ABCD], de acordo com os seguintes dados:
- O quadrado está contido no plano oblíquo ;
- O traço horizontal do plano plano  faz um ângulo de 45º (ae) e intersecta o eixo dos X num ponto com -5 de abcissa
-.O ponto O(0;3;4) é o centro do polígono.
- O vétice “A” situa-se sobre a mesma recta de maior declive que o centro “O” e tem 1 de cota.

 

Questão 3 Sombras de sólidos

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide pentagonal regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine a sombra própria do sólido e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
– a base [ABCDE] está contida num plano frontal;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 7 de afastamento;
- o vértice “A” da base tem 6 de abcissa e 6 de cota

– o vértice do sólido é o ponto V, com 1 de afastamento.

GDA II - Teste 1.2

Matriz:
3 questões de resolução obrigatória

Questão 1 (50 pontos)


Paralelismo e Perpendicularidade
ou Distâncias
Exercícios Aproged:
PARALELISMO DE RECTAS E PLANOS
PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS
PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS

Questão 2 (70 pontos)


Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento) podendo incluir a determinação das sombras no planos de projecção


Exercícios Aproged:
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA
SOMBRAS DE FIGURAS PLANAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

Questão 3 (80 pontos)


Construção de um sólido geométrico regular ou irregular e determinação das suas Sombras (Própria e Projectada nos planos de projecção)


Exercícios Aproged:
SOMBRAS DE SÓLIDOS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

Questão 2 - Proposta de Resolução Exame 2010

COMENTE

Determine as projecções do triângulo [LMN].

– o triângulo está situado no 1.º diedro;

– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;

– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;

– o lado [LN] mede 8 cm;

– o ponto N é o vértice de menor cota.

Reconheço que me surpreendeu este exercício, não pela complexidade mas pela barafunda deste enunciado, de tal forma que errei a primeira tentativa colocando os 8 cm no lado MN e não no LN como solicitado.

A solução aqui apresentada passa por 2 rebatimentos, o primeiro para colocar a recta de perfil a formar um ângulo de 50º com o PHP e o segundo, rebatimento do plano obliquo que contém a recta de perfil e o ponto "L" de forma a permitir colocar os 8 cm no lado LN.

Aula 2 de Apoio Exame - dia 16 de Junho 9:30

. Comentar.

Plano de estudo:

Consultar a tipologia da Questão 2 (aqui)
Importar os Exercícios de Exames Questão 2 - (aqui)

Rever os exercícios deste blogue (abaixo)

(mais exercícios brevemente)

Resolver a totalidade dos exercícios de exame compilados em Aproged:
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO VERTICAL
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE TOPO
FIGURAS PERTENCENTES AO PLANO DE PERFIL
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA
PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS
PROBLEMAS MÉTRICOS - ÂNGULOS

Outros Exercícios Resolvidos:

Questão 2.1

Determine a distância entre os planos paralelos alfa e beta

Plano alfa:

Contém o ponto A(5;3;3)

É perpendicular ao bissector dos diedros ímpares

O traço frontal forma um ângulo de 45º com o eixo dos X
Plano beta:

Contém o ponto B(-4;2;4)

Exercício Exame Tipo 2 (2008/1.ª)

Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.
Dados
– o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [BC] pertence à recta s;
– o ponto F, traço frontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.
(Solução)

GDA I - Teste 2.2 - 2009 02 26 - Turma 10 - Resolução

ENUNCIADO - Teste 2.2 - Mudança de Diedros


Questão 1 Intersecção plano / plano

Determine a recta “i”, comum aos planos a e b

O plano a contém o ponto A (5;2;2) e os seus traços, horizontal e frontal, fazem respectivamente ângulos de 30º e 45º ambos com abertura à direita.
O plano b tem os traços coincidentes, contém a origem das coordenadas e o seu traço horizontal faz 60ºad (de abertura à direita).

Descreva sinteticamente o processo que adoptou na resolução.


Questão 2 Figura situada num plano projectante
Coloque a Folha ao alto (retrato)


Desenhe as projecções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de topo sabendo:

Centro O (-2;5;5)
Vértice A (0,5;4;1)






Questão 3 Sólido com Base(s) em plano(s) projectante(s)

Coloque a Folha ao alto (retrato)
Desenhe as projecções de uma pirâmide hexagonal regular, de base [ABCDEF] situada num plano vertical, e vértice “V”, sabendo:

A (-2;2;2)
B (1;5;1)
O vértice “V” está situado no Plano Frontal de Projecção

Atenda às invisibilidades de acordo com as convenções

GDA I - Teste 2.2 - Turma 10

Matriz:
Três questões de resolução gráfica sendo a primeira acompanhada da descrição do processo de resolução adoptado.

1. (6 valores) Relação Ponto / Recta / Plano, Intersecções.
- Métodos Geométricos Auxiliares - Mudança de Diedros de Projecção
2. (7 valores) Figuras planas situadas em planos projectantes.
3. (7 valores) Sólidos com bases ou faces situadas em planos projectantes.

Consulta os seguintes locais:Geometria Dinâmica http://www.pedravermelha.com/

Exercícios na APROGED
Procurar as resoluções aqui1.
PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO
INTERSECÇÃO DE PLANOSINTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO
2.
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO VERTICAL
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE TOPO
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE PERFIL
3.
SÓLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) PROJECTANTE(S)

Aos Menos Atentos - Plano de Recuperação

Para quem ainda tem dúvidas sobre geometria plana elementar.

Para quem não sabe ainda construir polígonos

Consulte o site GEOMETRICAS como revisão das aulas "conversa" do primeiro período.

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Para dúvidas gerais sobre Geometria Descritiva aconselha-se a consulta do blogue da Professora Vera Viana, recentemente desenvolvido com muita qualidade: http://geometriaveraviana.blogspot.com/

GDA II - Teste 1.1

Prova GDA II 1.1

Resolução - (clique nos desenhos para aumentar)

Questão 1Determine as projecções da recta b paralela ao plano a e ao plano bissector dos diedros pares (b2,4).
· o plano a é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2).
· o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento.
· a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).



Questão 2
Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano a.
· o plano oblíquo a é definido pelos pontos
· A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
· a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)



Questão 3
Determine graficamente a distância d do ponto P ao plano oblíquo a.
· o ponto P pertence ao plano b13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;
· o plano a intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;
os traços, horizontal e frontal, do plano a fazem, ambos, ângulos de 45º ad (de abertura para a direita) com o eixo x.



Questão 4
Desenhe as projecções de um triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo b.
· os traços horizontal e frontal do plano b fazem, respectivamente com o eixo x, ângulos de 45º e 60º, ambos com abertura para a esquerda
· os traços do plano b intersectam-se na origem das coordenadas
· o vértice A está no traço horizontal do plano e tem 2 de afastamento
· o vértice B está no traço frontal do plano e tem 6 de cota




Temas a estudar para o Teste 1.1 GDA II. - Ligações

Exercícios D. Maria II
Paralelismo - Vera Viana
Perpendicularidade - Vera Viana
Distâncias - Vera Viana
Rebatimentos - Vera Viana
António Melo - Esc. Sec. Josefa de Óbidos - Necessita plugin
Elísio Silva - Diversos Exercícios