GDA II - Teste 1.2 - Sombra de um Cone

Represente um cone oblíquo de base circular, frontal, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Represente, a traço interrompido, as partes invisíveis da separatriz e do contorno da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as com uma mancha de grafite clara e uniforme

- a base do sólido tem como centro o ponto 0(5; 2; 6) e o seu raio mede 4 cm.
-  o vértice do cone é o ponto V(0;8;5)

Exercícios de Exame

Compilação de Exercícios da Aproged/Exames Nacionais para os próximos testes:

10.º ano  GDA I
- Relação Ponto Reta Plano

11.º ano  GDA II
- Sombras

Mais provas de exame e as respetivas resoluções em: http://www.aproged.pt/examesgeometria.html

GDA I - Teste 1.1

1.     Represente os seguintes pontos e indique, com siglas, os locais onde se encontram. (siglas: PHp, PFp, b₁₃, b₂₄, ID, IID, IIID, IVD)

A(11; -2; 6)       B(8; 6; -4)         C(5; -7; -7)       D(1; 3; -3) 

E(-3; 5; 5)          F(-7; 0; -6)        G(-9; -4; 4)       H(-11; 7; 0)

2.     Represente pelas suas projeções os seguintes pontos:

A com 10 de abcissa, 5 de afastamento e pertencente ao b₁₃

B simétrico de A em relação ao plano horizontal de projeção.

C com 6 de abcissa, 4 de cota e pertencente ao b₂₄

D simétrico de C em relação ao plano horizontal de projeção.

E com 2 de abcissa -5 de cota pertencente ao b₁₃

F com -1 de abcissa 7 de afastamento e pertencente ao PHp

G com -4 de abcissa no 3.º diedro, distando 3 do PHp e 6 do PFp

H com -7 de abcissa 5 de cota pertencente ao PFp

I com -10 de abcissa -3 de afastamento e -7 de cota

J simétrico de I em relação ao bissetor dos diedros ímpares

3.     Represente a reta “a” definida pelos pontos A(4;6:5) e B(-4;-1;2)

Determine os seus pontos notáveis. (H,F,Q,I)

Indique o percurso da reta ao longo dos diedros.

Coloque, na reta, um ponto P com -3 de afastamento

4.     Represente, indicando os nomes e caraterísticas, as seguintes retas:

a definida por A(11;4;2) e B(7;4;8)

t definida por C(4;7;5) e D(4;0;5)

g definida por U(1;7;3) e V(-3;7;3)

n definida por G(-6;7;-5) H(-9;3;-5)

v definida por M(-11;6;6) N(-11;6;1)

      5.     No verso deste enunciado encontras representações de um sólido composto

      a)     Assinala em todas as representações, com cores ou com letras, um exemplo de cada segmento de reta tipo que estudaste, Horizontal/Topo, Frontal/Vertical e ainda fronto-horizontal.

     b)     Procura, no prolongamento da aresta [AV], um traço horizontal e um traço frontal da reta que o contém, assinalando respetivamente com a letra H e F em todas as representações.

c)      O segmento [BM] situa-se na face [ABV] Representa a sua projeção frontal.

 d)   Representa em todas as projeções, a reta h de cota nula e a reta f de afastamento nulo, sabendo que são complanares com a face [ABV] 

Sombras de Sólidos

Relação Reta / Plano

As retas que pertencem a um mesmo plano são Concorrentes ou Paralelas.
Para colocar uma reta num plano ela deve conter 2 pontos desse plano (ou conter um ponto do plano e ser paralela a uma reta conhecida do plano)

Pontos notáveis da Reta

A reta tem alguns "pontos notáveis".
O ponto de cota nula e o ponto de afastamento nulo são os mais importantes neste momento.
Eles, o H e o F, permitem perceber o momento em que a reta sai de um diedro e passa para outro, são os pontos "fronteira"
Estes pontos, H e F, vão ser muito importantes para a relacionar com o plano (na forma elementar)

Relação Ponto / Reta

Um ponto está numa reta se as projeções do ponto estiverem sobre as projeções da reta em todas as projeções. (A1 sobre a1 e A2 sobre A2)

GDA II - Teste 1.1

      1.     Determine os traços do plano b, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano a.

- o plano a contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal F_h tem 6 de abcissa.
- o plano b contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)

 

       2.     Determine a verdadeira grandeza da distância entre a reta “r” e o plano a, 
        A recta “r” é paralela ao pano a , contém o ponto R (-3; 3; 2) e a sua projecção frontal faz 45º ad com o eixo dos X.

O plano a contém o ponto do eixo dos X com 11 de abcissa. O seu traço horizontal faz 60º ad com o eixo dos X e o seu traço frontal faz 30º ad com o mesmo eixo.

                 (deve representar todos os dados, nomeadamente as projeções da reta r e os traços do plano a )

      3.     Desenhe a verdadeira grandeza de um triângulo [ABC], contido num plano oblíquo q.

      Os traços horizontal e frontal do plano qfazem, respetivamente com o eixo x, ângulos de 60º e 45º, ambos com abertura para a direita e intersectam-se na origem das coordenadas.
       O vértice A situa-se no traço frontal do plano e tem 2 de cota
      O vértice B tem 6 de afastamento e 2 de cota.
      O vértice C tem 2 de afastamento e 6 de cota

 

Resultados de Exames 2012

Novamente o Júri Nacional de Exames fornece informações, sobre os resultados dos Exames Nacionais de 2012, aos meios de comunicação social sem os divulgar publicamente.

Analisei alguns dos dados divulgados pelos mídia e verifico que não passam de uma guerra de distorções à verdade, não sei para favorecer certos colégios/escolas, justificar alguma decisão política ou simplesmente porque os analistas são jornalistas de 3.ª categoria e não sabem interpretar os dados.

Numa sociedade onde as fontes públicas são reservadas para alguns não podemos confiar em mais nada.

As verdades que pretendem ser as notícias sensacionalistas que hoje aparecem são uma fraude.

Bem, afinal parece que se considerou que alterar regras a meio do jogo não é lá muito correto:

Ainda não é este ano que os alunos do 12.º ano vão ter de responder, nos exames nacionais, sobre os programas dos três anos das disciplinas trienais. Mas a regra é para aplicar gradualmente. Os alunos que chegarem ao 12.º ano em 2014/2015 já serão abrangidos.                           
Notícia de Jornal Público : http://www.publico.pt/Educa%C3%A7%C3%A3o/ministerio-da-educacao-recua-na-questao-dos-exames-do-12-ano-1566446

Informações - Exames Nacionais 2013 :

 

De acordo com o publicado ontem na página do GAVE, e relativamente apenas ao ENSINO SECUNDÁRIO:

 

"Informa-se os professores, os alunos, os encarregados de educação e o público em geral que, de acordo com a Portaria n.º 243/2012, de 10 de agosto, conforme expresso no n.º 5 do art.º 13.º - «Os exames finais nacionais realizam-se nos termos definidos no n.º 3 do artigo 29.º do Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho, e incidem sobre os programas e metas curriculares relativos à totalidade dos anos de escolaridade em que a disciplina é lecionada».

Com a alteração legislativa atrás referida, os exames nacionais das disciplinas de Português (639), Matemática A (635), História A (623) e Desenho A (706), a realizar em 2013, têm por referência os programas dos 10.º, 11.º e 12.º anos de escolaridade.

Informações adicionais podem ser consultadas nas Informações-Exame, a publicar oportunamente."

Exame 2012 - 2.ª fase - Resolução - Item 4

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares oblíquas de base regular.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
−− trimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com a projeção do eixo z e um ângulo de 130º com a projeção do eixo y.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Pirâmides:
−− o ponto A (6; 2; 0) e o ponto B (6; 8; 0) definem uma aresta que é comum às duas bases dos sólidos;
−− as bases das pirâmides estão contidas no plano coordenado xy;
−− os vértices V e V’ das pirâmides pertencem à reta vertical que contém o vértice A;
−− o vértice V tem 10 de cota e o vértice V’ tem 5 de cota;
−− o vértice V’ pertence à pirâmide que tem a aresta de base de maior abcissa.

Exame 2012 - 2.ª fase - Resolução - Item 3

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num prisma triangular oblíquo de bases regulares horizontais, situado no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

Dados

-  o ponto A (7; 4; 0) e o ponto B (1; 5; 0) são dois dos vértices do triângulo [ABC] de uma das bases do prisma;

-  a aresta lateral [AA’] tem as suas projeções horizontal e frontal a fazerem, respetivamente, ângulos de 25º, de abertura à esquerda, e 45º, de abertura à direita, com o eixo x;

-  o vértice A’ pertence ao Plano Frontal de Projeção;

-  o plano θ contém um ponto do eixo x com 6 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com este mesmo eixo.

Falta preencher a tracejado a projeção visível da secção

Exame 2012 - 2.ª fase - Resolução - Item 2

Determine, graficamente, a distância do ponto P ao plano ω

Dados:

-  ponto P (–3; 10; –2);

-  o plano ω está definido pelo ponto A (0; –1; 5) e pela reta de perfil p;

-  a reta p contém o ponto B (4; 2; 5) e o seu traço horizontal tem 6 de afastamento.

 

Exame 2012 - 2.ª fase - Resolução - Item 1

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

Dados:

-  o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;

-  a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;

-  a reta b pertence ao bissector dos diedros pares, β24, e tem 4 de cota;

-  o plano μ contém o ponto P (6; 5; 6).

Apoio Exame - 2.ª fase

Neste momento apenas me posso comprometer com a seguinte agenda:

Segunda dia  16 - 14:00h

Terça dia  17 - (alterado) passa para 10:00h

Bom estudo

Aconselho a trabalharem sobre os exames anteriores tipo 708 ou 408 (podem encontrar enunciados e resoluções em APROGED . Também os 108, 109 e 409 poderão ajudar na primeira questão.

Exame 2012 - 1.ª fase - Resolução - Item 4

Para aceder ao PDF do processo de resolução clique na imagem maior

    

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo.

Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados : Sistema axonométrico:  dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 110º com as projeções dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

−− o ponto A (3; 2; 0) e o ponto B (3; 10; 0) são os vértices de uma aresta de uma das bases do prisma;

−− a outra base está contida no plano coordenado yz.

Cubo:

−− uma das faces do cubo pertence ao plano da base do prisma, que contém a aresta [AB];

−− os vértices desta face são os pontos médios das arestas da base do prisma.

Exame 2012 - 1.ª fase - Resolução - Item 3

Para aceder ao PDF do processo de resolução clique na imagem

Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base regular contida num plano de perfil e situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e o contorno da sua sombra projetada nos planos´de projeção.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme

Nota

– Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados

os pontos A (0; 0; 3) e B (0; 4; 0) são dois dos vértices da base [ABCD] da pirâmide;

a aresta lateral [AV] é fronto-horizontal;

o vértice V tem –10 de abcissa;

a direção luminosa é a convencional

Exame 2012 - 1ª fase - Resolução - Item 2

enunciado da prova - critérios de classificação

Para aceder ao PDF do processo de resolução clique na imagem

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω.

    o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;

    o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;

    a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x;

    o traço frontal da reta d tem – 4 de cota;

    a reta h contém o ponto P (0; –1; 7) e faz um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

Exame 2012 - 1.ª fase - Resolução - Item 1

enunciado da prova - critérios de classificação

Para aceder ao PDF do processo de resolução clique na imagem

Determine os traços do plano de rampa δ ortogonal ao plano θ.

     o plano θ contém o ponto A (4; 3; 2) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;

     o traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;

     o plano δ contém o ponto P (–6; 7; 5).

Resolução exame Geometria 2012 - 1.ª fase

    Enunciado da Prova   -   Critérios de Classificação

Hoje é o nosso dia "D"

Desejo a todos uma boa prova, que revele os conhecimentos e as competências de cada um, enriquecidas ao longo de dois anos.

Calma, concentraçao, rigor de raciocínio, verificação final. Elaborar um rascunho do processo (3D) e seguir os passos necessários. Resolver tudo o que for possível nas 4 questões.

Obrigado por todo o empenho dedicado.

Boas Férias (a sério)

JP

Apoio Exame

Encontro na sala de estudo. Quem não chegar a horas deve informar-se na portaria.
Esta agenda pode ser alterada devido a condicionantes, consulte no final do dia anterior
A aula inicia-se com o esclarecimento de dúvidas e desenvolve-se de acordo com o o tipo de assunto seguidamente descrito.

Seg 11 - 9:00h - Tipo I - Ponto / Reta / Plano. Intersecções. Perpendicularidade e Paralelismo
Qua 13 - 9:00h - Tipo II - Distâncias, Ângulos, Figuras planas em planos não projetantes
Sex 15 - 9:00h - Tipo III - Sólidos de base oblíqua, Sombras, Secções
Seg 18 - 10:30h - Tipo IV - Projeções Axonométricas
Qua 20 - 9:00h - Exercícios dirigidos.
Sex 22 - 9:00h - Revisão de conceitos base e processos simplificados alternativos.
Afinação do material para o exame

Exame - Questão Tipo 1

Em dupla projeção ortogonal, determinação de projeções de entidades geométricas elementares, condicionadas por relações de pertença (incidência), paralelismo, perpendicularidade, ou resultantes de interseções (em particular, §§ 3.1 a 3.3, 3.5, 3.6, 3.11 e 3.12 do Programa).

Representação diédrica:
 Ponto, segmento de reta, reta, plano: §§ 3.1 a 3.3 e 3.5 do Programa
 Interseções (reta/plano e plano/plano): § 3.6 do Programa
 Paralelismo de retas e de planos: § 3.11 do Programa
 Perpendicularidade de retas e de planos: § 3.12 do Programa
 Métodos geométricos auxiliares: §§ 3.8 e 3.13 do Programa

Anos Anteriores

1101 Paralelismo Reta/Plano + Intersecção
1102 Intersecção de 2 planos
1001 Perpendicularidade
1002 Paralelismo
0901 Intersecção de Planos
0902 Intersecção 2 planos
0801 Intersecção recta de perfil com plano de rampa
0802 Paralelismo recta a 2 planos
0701 Intersecção recta de nível com plano de rampa
0702 Perpendicularidade - Plano Perpendicular a Plano
0601 Intersecção de Planos Rampa e Oblíquo
0602 Perpendicularidade - Recta Perpendicular a Plano