Exame 2011 2.ª fase - PDF Interactivo - Questão 2

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Exame 2.ª fase - Exercício 2 para a próxima aula de apoio

Ângulos - 2011.07.06
Determine o ângulo formado entre o eixo dos "x" e o plano alfa
Os traços, horizontal e frontal do plano alfa fazem respectivamente ângulos com o eixo dos "x" de 40º (abertura à esquerda) e 60º (abertura à direita).
Será colocada a resolução no próximo fim de semana - Bom estudo
Recorde: o ângulo entre uma recta e um plano é o complementar entre a recta e a recta perpendicular ao plano

Preparação para Exame 2.ª fase - Distância entre uma recta e o eixo "x"

Distâncias - 2011.07.06 

Determine a menor distância entre a recta "a" e o eixo do "x"
A recta "a" contém o ponto A(0;-7;4), é paralela ao bissector dos diedros pares (beta 24), e a sua projecção horizontal faz 35º de abertura à direita com o eixo dos "x"
Recorde: A menor distância entre duas rectas enviesadas é a distância de uma delas ao plano que contém a outra e é paralelo à primeira
Resolução em PDF

Resolução Questão 2 - Exame 2011 fase1

Como as rectas são concorrentes basta rebater o plano que as define:

Já que nos forneceram o traço horizontal da recta de perfil, bastou achar o traço horizontal da outra recta para definir um eixo horizontal de cota nula (traço horizontal do plano) e efectuar o rebatimento do ponto comum às duas rectas.

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PDF com os passos da resolução e cotações. Clique Aqui para Importar

Teoria - Rebatimentos e ângulo entre 2 planos

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Exame Nacional - Questão Tipo 2 - Problemas métricos / Figuras Planas

Em dupla projecção ortogonal, resolver um problema métrico, envolvendo o relacionamento de entidades geométricas elementares ou a construção de algumas figuras planas (em particular, §§ 3.4, 3.9, 3.14 e 3.15 do Programa).

Ou seja:
Problemas métricos (ângulos, distâncias, etc)
Figuras planas situadas em qualquer tipo de plano.
Exercícios:
Exames Nacionais de 
Desenho e Geometria Descritiva A 
(408) na 1.ª questão e 
Desenho e Geometria Descritiva B
(409) na 4.ª questão:
Procurar em APROGED

Anos Anteriores
1001 Figura Plana num plano oblíquo
1002 Ângulo entre 2 planos
0901 Ângulo entre 2 rectas
0902 Distância entre 2 planos
0801 Figura Plana Triângulo Isósceles num plano oblíquo.
0802 Ângulo Plano / plano de projecção
0701 Figura Plana Quadrado num plano vertical
0702 Figura Plana Rectângulo num plano de rampa
0601 Ângulo de rectas enviesadas
0602 Figura Plana Quadrado em Plano Oblíquo

Prognóstico: 2011 : Distâncias – Ponto plano, Ponto recta
Partes do Programa:
3.4 Figuras planas I Polígonos e círculo horizontais, frontais ou de perfil
3.9 Figuras planas II Figuras planas situadas em planos verticais ou de topo
3.10 Sólidos II Pirâmides e prismas regulares com base(s) situada(s) em planos verticais ou de topo
3.14 Problemas métricos
3.14.1 Distâncias
3.14.1.1 Distância entre dois pontos
3.14.1.2 Distância de um ponto a uma recta
3.14.1.3 Distância de um ponto a um plano
3.14.1.4 Distância entre dois planos paralelos
3.14.2 Ângulos
3.14.2.1 Ângulo de uma recta com um plano frontal ou com um plano horizontal
3.14.2.2 Ângulo de um plano com um plano frontal ou com um plano horizontal
3.14.2.3 Ângulo de duas rectas concorrentes ou de duas rectas enviesadas
3.14.2.4 Ângulo de uma recta com um plano
3.14.2.5 Ângulo de dois planos
3.15 Figuras planas III Figuras planas situadas em planos não projectantes

Teste GDA II - 3.3 - Q2

Questão 2         15min    ângulos

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre a recta “r” e o plano a

Os traços, horizontal e frontal do plano a fazem respectivamente ângulos de 30º ad e 60º ad com o eixo dos X

A recta “r” é de perfil pertence ao bissector dos diedro pares e intersecta o plano a num ponto do eixo dos X

Teste GDA II - 3.1 - Q1b

Questão 1         Distâncias

15min

Determine a verdadeira grandeza da distância do ponto P (-4;6;6) à recta « r » passante, que contém o ponto R (2;2;2) e cujas projecções fazem ambas ângulos de 45º ae com o eixo dos X

Teoria - Distância Ponto Recta (Teste GDA II - 3.1 - Q1)

Questão 1         Distâncias

15min

Consultar o PDF com os passos de uma proposta de resolução

Determine a verdadeira grandeza da distância do ponto P (-4;0;0) à recta « r » que concorre com o eixo dos “X” num ponto de abcissa 4 e cujas projecções fazem ambas ângulos de 45º ad com o eixo dos X

Teste GDA II - 2.3 - Q2b

Questão 2         15min    Distância

Determine a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano a

O plano a é perpendicular ao bissector dos diedros pares b24 e o seu traço horizontal faz 45º ad com o eixo dos X

O ponto P pertence ao bissector dos diedros ímpares b13, tem 5 de afastamento e a sua projecção frontal situa-se no traço frontal do plano a

Teste GDA II - 2.3 - Q2

Questão 2         15min    Distância

Determine a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano a

O plano a é perpendicular ao bissector dos diedros ímpares b13 e o seu traço horizontal faz 45º ad com o eixo dos X

O ponto P pertence ao bissector dos diedros pares b24, tem 5 de afastamento e a sua projecção frontal situa-se no traço frontal do plano a

GDA II - Teste 1.2

Matriz:
3 questões de resolução obrigatória

Questão 1 (50 pontos)


Paralelismo e Perpendicularidade
ou Distâncias
Exercícios Aproged:
PARALELISMO DE RECTAS E PLANOS
PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS
PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS

Questão 2 (70 pontos)


Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento) podendo incluir a determinação das sombras no planos de projecção


Exercícios Aproged:
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA
SOMBRAS DE FIGURAS PLANAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

Questão 3 (80 pontos)


Construção de um sólido geométrico regular ou irregular e determinação das suas Sombras (Própria e Projectada nos planos de projecção)


Exercícios Aproged:
SOMBRAS DE SÓLIDOS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

GDA II - Teste 1.1 - Questão 3 - Distâncias

Questão 3 V1    Distâncias  (resolução de David Gonçalves)
30 min

Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (4;5;6) e o plano alfa 

O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(-7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ad) com o eixo dos “X”

Questão 3 V2    Distâncias (resolução de Bruno Barbosa)  

30 min

Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (-4;5;6) e o plano alfa

O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ae) com o eixo dos “X”


Resolução:
Esta distância baseia-se nos mesmos princípios da questão 1 (perpendicularidade recta/plano)
Claro que quem quer raciocinar um pouco, olha à sua volta, procura um ponto e um plano (por exemplo o nariz do professor e a parede)
Claro que concluirá que a distância entre ambos se consegue com uma perpendicular à parede.
Então o processo é simples, passa uma recta pelo nariz do professor e procura o ponto onde essa recta "fura" a parede, ou seja a intersecção recta/plano.
Após isso basta rodar o segmento entre os pontos (nariz e furo na parede) de forma a colocar numa posição frontal ou horizontal, para que toda a turma veja a verdadeira grandeza.

Exame Geometria Descritiva 2010 fase 2 - Proposta de Resolução

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Enunciado da prova

Critérios de Classificação

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Questão 1 - Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados
– o plano α é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a

direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;

– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

Proposta de resolução: Na primeira solução não representamos as rectas a e b pois já que se conheciam as suas direcções bastou representar as rectas a´ e b´, com as mesmas direcções, passando no ponto P.

Desta forma as rectas representadas, porque são paralelas às primeiras, definem o plano π (pi) paralelo a α (alfa)

Nota: Nos Critérios de Classificação são atribuidas cotações à representação do ponto "S" e das rectas "a" e "b", e até aos traços do plano alfa, no entanto tal representação não é solicitada no enunciado.

É possível resolver esta questão sem recurso à representação das rectas fornecidas e dos traços do plano delta, sendo conhecidas como são as direcções das rectas do primeiro plano, basta criar duas novas rectas, com a mesma direcção das anteriores, a conterem o ponto P, dessa forma garantimos que o plano que contém estas segundas rectas é paralelo ao primeiro plano.

Questão 2 - Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes;

– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

Proposta de Resolução: Colocamos um ponto P qualquer e por ele fizemos passar duas rectas perpendiculares aos planos. (julgamos que não é absolutamente necessário representar os planos dados pois aqui novamente são conhecidas as suas direcções) Rebatemos a recta perpendicular ao plano obliquo δ usando como eixo a recta perpendicular ao plano de topo θ, já que esta última é frontal.

Questão 3 - Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do prisma.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

Dados

– as bases estão contidas em planos de perfil;

– os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respectivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE];

– o plano de perfil da outra base tem – 5 de abcissa;

– a direcção luminosa é a convencional.
.

Questão 4 - Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico: – trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos
– os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular:

– uma base está situada no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular:

– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;

– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

Aula 2 de Apoio Exame - dia 16 de Junho 9:30

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Plano de estudo:

Consultar a tipologia da Questão 2 (aqui)
Importar os Exercícios de Exames Questão 2 - (aqui)

Rever os exercícios deste blogue (abaixo)

(mais exercícios brevemente)

Resolver a totalidade dos exercícios de exame compilados em Aproged:
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO VERTICAL
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES AO PLANO DE TOPO
FIGURAS PERTENCENTES AO PLANO DE PERFIL
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA
PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS
PROBLEMAS MÉTRICOS - ÂNGULOS

Outros Exercícios Resolvidos:

Questão 2.1

Determine a distância entre os planos paralelos alfa e beta

Plano alfa:

Contém o ponto A(5;3;3)

É perpendicular ao bissector dos diedros ímpares

O traço frontal forma um ângulo de 45º com o eixo dos X
Plano beta:

Contém o ponto B(-4;2;4)

Questão do Tipo 2 - Distância

Determine a Verdadeira Grandeza da distância entre os planos paralelos alfa e beta

Plano alfa:

Contém o ponto A(5;3;3)

É ortogonal ao bissector dos diedros ímpares

O traço frontal forma um ângulo de 45º com o eixo dos X

Plano beta:

Contém o ponto B(-4;2;4)

(resolução de Sara Semelhe)

NB. nesta resolução falta determinar a verdadeira grandeza

Prova Tipo Exame Nacional 2010 - Questão 2

NOTA: Esta solução não corresponde exactamente aos dados do enunciado (traços da recta de perfil)
Determine graficamente a amplitude w do diedro formado pelos planos oblíquos a e b.

Dados
- os planos intersectam-se na recta de perfil p, cujos traços nos planos de projecção são os pontos H (3; 6; 0) e F, com 9 de cota (nesta resolução é 3 de cota); (o resultado deste enunciado é 36º)

- os traços do plano a intersectam o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- os traços do plano b intersectam o eixo x no ponto Y, com - 9 de abcissa

Exame GDA - 2 fase - Proposta de Resolução

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Enunciado e Critérios - Proposta de Resolução

Comente, critique, clicando aqui

Esta prova foi, segundo os alunos "à porta das urnas", mais difícil que a da primeira fase. Acreditamos que sim. Julgamos que a não inclusão de um exercício mais fácil e um outro muito difícil não contribui para uma verdadeira avaliação dos examinandos.

Neste exame todas as questões estão no mesmo patamar de grau de dificuldade, ou por serem casos particulares ou por todas as questões terem pelo menos um "grão de areia"

Julgamos muito mais correctas as provas do ano passado, verdadeiramente "progressivas" em termos de dificuladade.

Julgamos também que seria importante indicar aos examinandos se em determinados sólidos devem ser ou não assinaladas as invisibilidades, não dizer nada só serve para criar confusão desnecessária. (estamos a falar, concretamente da questão 3)

Questão 1
Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.
Dados
– o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).
Este exercício foi amplamente trabalhado no bloco I.
Optamos por colocar duas rectas ("p" e "n"), uma de cada plano (neste caso ambas de nível), coincidentes na projecção frontal, a concorrência delas dá-nos o segundo ponto comum aos dois planos.
Nota 1: Nos critérios atribui-se 1 ponto à identificação dos traços de teta, no entanto tal não é solicitado no enunciado
Nota 2: No processo de resolução consideramos redundante a utilização de um "plano auxiliar", conforme demonstra esta resolulção tal plano não é necessário.

Questão 2

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.
Dados
– o traço frontal do plano α intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).
Para determinarmos a distância entre os dois planos paralelos, bastou fazer passar por um ponto (P) do plano beta, uma recta ortogonal ao plano alfa. Encontrada a intersecção dessa recta com o plano alfa obtemos a distância revelada no segmento [P I]. A V.G. foi obtida por uma rotação.


Questão 3
Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados
– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;
– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– as diagonais da base medem 10 cm;
– o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];
– a pirâmide tem 12 cm de altura.
Este problema deu bastante trabalho.
Foi feito um primeiro rebatimento do plano oblíquo para determinar as projecções da base do sólido.
Colocou-se o eixo da pirâmide perpendicular ao plano da base, contendo o seu centro.
Foi ainda necessário rodar o eixo anterior de forma a poder aplicar o valor da alura do sólido.

No enunciado não havia qualquer referência acerca das invisibilidades, julgo portanto, que serão consideradas totalmente correctas as soluções que incluem e as que não incluem as indicações das arestas invisíveis.

Nota 1: Nos critérios atribuem 2 pontos à representação do traço frontal do plano, no entanto não só ão é solicitado como não é necessário segundo esta proposta de resolução.Nota 2: Nos critérios atribuem 4 pontos às invisibilidades mas tal não é solicitado em lado algum.

Questão 4
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico: – dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.
Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.
Esta questão parece-nos já familiar, consulte o teste 3.2 aqui

Nesta solução não rebatemos o par de eixos XZ já que se tratava de uma dimetria e ... não ficaria muito bem na nossa pequena folha A4. Na folha de exame havia espaço suficiente pelo que o rebatimento de 2 pares de eixos seria o processo mais comum.

Optamos portanto por determinar o centro das bases do prisma hexagonal recorrendo a um triângulo determinado no par de eixos XY em rebatimento.

Como exemplo de "economia de recursos" pensamos que os critérios de classificação deveriam ponderar esta questão.