Teste GDA II - 3.2 - Q3b

Questão 3     

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta um prisma hexagonal regular e um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois sólidos.

Dados:
- o eixo axonométrico x faz ângulos de 130º com os restantes eixos (z e y);
Sólidos
- ambos os sólidos têm uma das bases situada num mesmo plano horizontal e têm uma aresta dessas bases em comum.
- o prisma Hexagonal tem uma aresta no eixo dos x
- o cubo tem todas as arestas paralelas ao eixos coordenados e tem o ponto A(3;6;2)como um dos vértices de maior afastamento.

Teste GDA II - 3.2 - Q3

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta um prisma hexagonal regular e um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois sólidos.

Dados:
- o eixo axonométrico x faz ângulos de 130º com os restantes eixos (z e y);
Sólidos
- ambos os sólidos têm uma das bases situada num mesmo plano horizontal e têm uma aresta dessas bases em comum.
- o prisma Hexagonal tem uma aresta no eixo dos x
- o cubo tem todas as arestas paralelas ao eixos coordenados e tem o ponto A(3;6;2)como um dos vértices de maior afastamento.

Teste GDA II - 2.3 - Q3b

Questão 3         40min    Axonometria Clinogonal

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em projecção cavaleira de um sólido composto resultante da união de um prisma  hexagonal regular e uma pirâmide quadrangular oblíqua, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Dados:

Sistema axonometrico:

– o eixo axonométrico Y faz ângulos de 135º com ambos os restantes eixos axonométricos (x e z).

– as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

· O vértice A(2; 3,5 ; 7) é um dos extremos de uma aresta comum aos dois sólidos

· O prisma hexagonal regular tem uma aresta da base no eixo “Y”

· A pirâmide quadrangular oblíqua tem o seu vértice principal no centro da base de maior abcissa do prisma e os lados da sua base são paralelos aos eixos “X” e “Y”

· A totalidade do sólido resultante situa-se no primeiro diedro.

Teste GDA II - 2.3 - Q3

Questão 3         40min    Axonometria Ortogonal

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um sólido composto resultante da união de um prisma  hexagonal regular com um prisma  triangular regular , de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Dados:

Sistema axonométrico:

– anisometria: a projecção axonométrica do eixo “Z” faz 130º com a do eixo “X” e 110 com o eixo dos “y”

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

– os dois prismas têm uma aresta em comum

– ambos os prismas têm uma aresta da base no eixo X

– o prisma triangular regular tem uma aresta lateral no eixo Z que mede 5,5

– o prisma hexagonal regular tem como vértice o ponto A(7;0;2)

Teste GDA II - 2.2 - Q2

Questão 2         30min    Axonometria Ortogonal

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma  pentagonal regular , de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Dados:

Sistema axonométrico:

– anisometria: a projecção axonométrica do eixo “Z” faz 110º com a do eixo “X” e 115 com o eixo dos “y”
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)
Prisma pentagonal:

– uma das bases situa-se no plano coordenado horizontal xy;

– o centro dessa base é o ponto M (5;5;0)

– um vértice do sólido é o ponto A(5;8;4)

Teste GDA II - 2.2 - Q3

Questão 3         25min    Axonometria Clinogonal

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em projecção cavaleira, de uma pirâmide quadrangular regular, de base [ABCD] situada no plano coordenado XY

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visiveis do sólido.

Dados:

Sistema axonometrico:  CAVALEIRA

– o eixo axonométrico Y faz ângulos de 135º com ambos os restantes eixos axonométricos (x e z).

– as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

Pirâmide quadrangular:
– dois vértices consecutivos da base situada no plano coordenado frontal xy são:
A(6;1;0)     B(1;3;0)

– a altura do sólido é 6

Exame Geometria Descritiva 2010 fase 2 - Proposta de Resolução

Comentar

Enunciado da prova

Critérios de Classificação

Clique nas Imagens para ampliar

Questão 1 - Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados
– o plano α é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a

direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;

– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

Proposta de resolução: Na primeira solução não representamos as rectas a e b pois já que se conheciam as suas direcções bastou representar as rectas a´ e b´, com as mesmas direcções, passando no ponto P.

Desta forma as rectas representadas, porque são paralelas às primeiras, definem o plano π (pi) paralelo a α (alfa)

Nota: Nos Critérios de Classificação são atribuidas cotações à representação do ponto "S" e das rectas "a" e "b", e até aos traços do plano alfa, no entanto tal representação não é solicitada no enunciado.

É possível resolver esta questão sem recurso à representação das rectas fornecidas e dos traços do plano delta, sendo conhecidas como são as direcções das rectas do primeiro plano, basta criar duas novas rectas, com a mesma direcção das anteriores, a conterem o ponto P, dessa forma garantimos que o plano que contém estas segundas rectas é paralelo ao primeiro plano.

Questão 2 - Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes;

– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

Proposta de Resolução: Colocamos um ponto P qualquer e por ele fizemos passar duas rectas perpendiculares aos planos. (julgamos que não é absolutamente necessário representar os planos dados pois aqui novamente são conhecidas as suas direcções) Rebatemos a recta perpendicular ao plano obliquo δ usando como eixo a recta perpendicular ao plano de topo θ, já que esta última é frontal.

Questão 3 - Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do prisma.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

Dados

– as bases estão contidas em planos de perfil;

– os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respectivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE];

– o plano de perfil da outra base tem – 5 de abcissa;

– a direcção luminosa é a convencional.
.

Questão 4 - Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico: – trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos
– os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular:

– uma base está situada no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular:

– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;

– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

Questão 4 - Proposta de Resolução Exame 2010

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por doisprismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Sistema axonométrico: – dimetria:
a projecção axonométrica do eixo x faz ângulos de 125º com a dos eixos y e z.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.




Prisma hexagonal regular:
– duas faces são horizontais;
– a face de menor cota está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto A com 2 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto B com 2 de abcissa e 10 de afastamento definem uma aresta dessa face;
– uma das bases está contida no plano coordenado de perfil yz.


Prisma quadrangular regular:
– uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto P com 2 de abcissa e 6 de afastamento e o ponto Q com 2 de abcissa e 8 de afastamento definem a aresta de menor abcissa dessa base;
– a outra base está contida no plano da face de maior cota do prisma hexagonal.

Aula 4 de Apoio Exame - dia 21 de Junho 15:07

 .Comentar .

Plano de Estudo:

Consultar a Tipologia de Questão 4 (aqui)

Rever os exercícios deste blogue (abaixo)

Exercícios Resolvidos

Q4.1

Represente, no sistema Axonométrico Ortogonal, um prisma pentagonal regular, de acordo com os seguintes dados:

O eixo dos Z forma ângulos de 115º com o eixo X e 130º com o eixo Y

Dados:

A base é paralela ao plano coordenado XY e tem como centro o ponto O(4;3;2)

O prisma tem uma face no plano XZ e a sua altura é 4


Q 4.2 - Construa, no espaço do 1.º triedro, uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas hexagonais regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico: Ortogonal - anisometria
- os eixos axonométricos z e x fazem, entre si, um ângulo de 110°; os eixos axonométricos x e y fazem, entre si, um ângulo de 120°.

(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.)

Sólidos:
- O prisma de menor cota tem as bases paralelas ao plano coordenado xz.
- O prisma de maior cota tem as bases paralelas ao plano yz
- a face [ABB’A’] é um quadrado e é comum a ambos os sólidos.
- A (3;3;6) e B(6;3;6)
 
Exame 408 - 2002.1.1

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma triangular regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Sistema axonométrico:
- Isometria
Prisma:
- a base de menor cota [ABC] do prisma pertence ao plano coordenado xy;
- o centro dessa base é o ponto M, com 3 de abcissa e 6 de afastamento;
- o vértice A pertence ao eixo y e tem 5,5 de afastamento;
- as arestas laterais medem 7 cm.

Exame 408 - 2003 – 1.1
Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

(A representação das projecções das circunferências das bases devera ser feita através da determinação rigorosa de, pelo menos, 8 pontos de cada uma das elipses.)
Determine, com rigor, os pontos de tangência das geratrizes do contorno aparente às projecções das circunferências das bases.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis que existam na representação axonométrica do sólido.
 Sistema axonométrico:

- Isometria

Cilindro:
- a base de menor cota do sólido pertence ao plano coordenado horizontal e é tangente aos eixos x e y;
- o centro dessa base é o ponto C, que tem 3 de abcissa;
- a outra base tem 7 de cota.



Exame 408 - 2003 – 2
Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as suas arestas invisíveis.
Sistema axonométrico:
- as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
- xOz = 110º (Ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
- y0z = 130º (Ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Cubo:
- o sólido e tem uma face assente em cada um dos planos coordenados;
- as arestas medem 6 cm.

Exame 408 - 2004 – 1
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por dois prismas quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades existentes no sólido resultante da justaposição dos dois sólidos.
Sistema axonométrico:
- os eixos axonométricos x e y fazem, ambos, ângulos de 110º com o eixo axonométrico z.
Sólido:
- os dois prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado horizontal xy;
- os pontos A (6; 1; 3) e B (6; 4; 3) são os vértices de maior abcissa da base inferior de um dos prismas;
- os pontos M (6; 4; 6) e N (6; 7; 6) são os vértices de maior abcissa da base superior do outro prisma;
- ambos os prismas têm 6cm de altura.

Exame 408 - 2004 – 2
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, invisibilidades existentes no sólido.
Sistema axonométrico:
- os eixos axonométricos x e z fazem, ambos, ângulos de 105º com o eixo axonométrico y.
Sólido:
- os dois prismas tem uma face lateral assente no plano coordenado horizontal xy;
- os pontos A (0; 0; 0) e B (5; 0; 0) definem uma aresta lateral de um dos prismas;
- o ponto B e o ponto C (8; 0; 0) definem uma aresta lateral do outro prisma;
- ambos os prismas têm as faces laterais quadradas.

Exame 408 - 2005 – 1
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois paralelepípedos rectângulos, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois paralelepípedos.
Sistema axonométrico:
- Isometria.
Sólido:
- a face [MNOP] de um dos paralelepípedos está contida no plano coordenado xy;
- o ponto O coincide com a origem dos eixos;
- o ponto N fica situado no eixo x e tem 3 de abcissa;
- o ponto P fica situado no eixo y e tem 7 de afastamento;
- as arestas perpendiculares à face [MNOP] medem 8 cm;
- o segundo paralelepípedo tem 1,5 cm de altura
- os pontos R (8; 0; 9,5), S (0; 0; 9,5) e T (0; 7; 9,5) são três vértices da sua face de maior cota.


Exame 408 - 2006 – 1
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides pentagonais regulares, de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.
Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz ângulos de 131º30' com os eixos axonométricos z e x;
Pirâmides:
- ambas as pirâmides têm por base o pentágono regular [ABCDE], situado num plano horizontal com 7 de cota;
- o centro do pentágono é o ponto M, que tem 4 de abcissa e 5 de afastamento;
- o vértice A fica situado no plano coordenado lateral yz e tem 5 de afastamento;
- o vértice principal V de uma das pirâmides tem 10 de cota;
- o vértice principal V' da outra pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.

Exame 408 - 2007 - 1
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.
Sistema axonométrico:
– as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem, entre si, os seguintes ângulos:
(xÔz) = 110° (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
(yÔz) = 100° (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Sólido:
– o triângulo [ABV] é uma face lateral comum às duas pirâmides;
– os pontos A e B ficam situados no eixo y e têm, respectivamente, 2 e 6,5 de afastamento;
– o ponto V tem coordenadas positivas;
– a base [ABCD], de uma das pirâmides, pertence ao plano coordenado horizontal xy;
– a base [ABEF], da outra pirâmide, pertence ao plano coordenado yz.

Exame 408 - 2007 - 2
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.
Sistema axonométrico:
– os eixos axonométricos z e x fazem, entre si, um ângulo de 110°; os eixos axonométricos x e y
fazem, entre si, um ângulo de 120°.
Sólido:
– os pontos A (3; 3; 0) e B (3; 10; 0) são dois vértices da base [ABC] de um dos prismas;
– a segunda base deste prisma tem 0 de abcissa;
– os pontos D (3; 4,5; 0) e E (3; 8,5; 0) são dois vértices da base [DEF] do outro prisma;
– a segunda base deste prisma tem 7 de abcissa;
– ambos os prismas ficam situados para cima do plano horizontal xy.

Resolver a totalidade dos exercícios de exame compilados em Aproged:
AXONOMETRIAS ORTOGONAIS
AXONOMETRIAS CLINOGONAIS

Questão Tipo 4 - Axonometria Ortogonal

Axonometria Ortogonal

Sistema: ZoX 125º - Zoy 110º
Paralelepipedo rectangular
Face [ABCD] paralela ao plano coordenado XY
A(6;1;2) B(1;2;2)
A aresta [BC] mede 4
A segunda face tem 1 de cota
Pirâmide Quadrangular regular
Base [MNOP] M(5;2;3) N(2;2;3)
Paralela ao plano coordenado XY
Altura = 4
(resolução de Sara Semelhe)

Mais uma Axonometria "divertida"

Enunciado da Prova  (transferir)  -  SOLUÇÃO

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um sólido resultante da união de um prisma quadrangular regular e uma pirâmide oblíqua, situados no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Acentue as arestas visíveis e identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.
Dados

Sistema axonométrico:- Anisometria (Trimetria).

A projecção axonométrica do eixo dos X forma um ângulo de 130º com o eixo Z e de 110º com o eixo Y.

(considere o eixo dos X orientado positivamente para a esquerda e o eixo dos Y orientado positivamente para a direita)

Sólido:

O quadrado [ABCD] é uma base comum aos dois sólidos e os seus lados medem 6,5

O prisma tem a outra base no plano XY e uma aresta situada no plano XZ

Os dois sólidos têm a mesma altura e uma aresta lateral situada na recta que contém o vértice principal da pirâmide V(1;6;5)

Prova Tipo Exame Nacional 2010 - Questão 4

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma hexagonal regular, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados

Sistema axonométrico:- Anisosometria (Trimetria).

A projecção axonométrica do eixo dos X forma um ângulo de 120º com o eixo Z e de 110º com o eixo Y.

(considere o eixo dos X orientado positivamente para a esquerda e o eixo dos Y orientado positivamente para a direita)

Sólido:

- Uma das bases (hexágono) do prisma está contida no plano coordenado XY, e uma das faces laterais pertence ao plano coordenado XZ;

- Um dos vértices do sólido tem 3 de abcissa, 7 de afastamento e 3 de cota.

(há 2 soluções possíveis, ambas serão consideradas válidas)

Exame GDA - 2 fase - Proposta de Resolução

Clique nas Imagens para Ampliar

Enunciado e Critérios - Proposta de Resolução

Comente, critique, clicando aqui

Esta prova foi, segundo os alunos "à porta das urnas", mais difícil que a da primeira fase. Acreditamos que sim. Julgamos que a não inclusão de um exercício mais fácil e um outro muito difícil não contribui para uma verdadeira avaliação dos examinandos.

Neste exame todas as questões estão no mesmo patamar de grau de dificuldade, ou por serem casos particulares ou por todas as questões terem pelo menos um "grão de areia"

Julgamos muito mais correctas as provas do ano passado, verdadeiramente "progressivas" em termos de dificuladade.

Julgamos também que seria importante indicar aos examinandos se em determinados sólidos devem ser ou não assinaladas as invisibilidades, não dizer nada só serve para criar confusão desnecessária. (estamos a falar, concretamente da questão 3)

Questão 1
Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.
Dados
– o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).
Este exercício foi amplamente trabalhado no bloco I.
Optamos por colocar duas rectas ("p" e "n"), uma de cada plano (neste caso ambas de nível), coincidentes na projecção frontal, a concorrência delas dá-nos o segundo ponto comum aos dois planos.
Nota 1: Nos critérios atribui-se 1 ponto à identificação dos traços de teta, no entanto tal não é solicitado no enunciado
Nota 2: No processo de resolução consideramos redundante a utilização de um "plano auxiliar", conforme demonstra esta resolulção tal plano não é necessário.

Questão 2

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.
Dados
– o traço frontal do plano α intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).
Para determinarmos a distância entre os dois planos paralelos, bastou fazer passar por um ponto (P) do plano beta, uma recta ortogonal ao plano alfa. Encontrada a intersecção dessa recta com o plano alfa obtemos a distância revelada no segmento [P I]. A V.G. foi obtida por uma rotação.


Questão 3
Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados
– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;
– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– as diagonais da base medem 10 cm;
– o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];
– a pirâmide tem 12 cm de altura.
Este problema deu bastante trabalho.
Foi feito um primeiro rebatimento do plano oblíquo para determinar as projecções da base do sólido.
Colocou-se o eixo da pirâmide perpendicular ao plano da base, contendo o seu centro.
Foi ainda necessário rodar o eixo anterior de forma a poder aplicar o valor da alura do sólido.

No enunciado não havia qualquer referência acerca das invisibilidades, julgo portanto, que serão consideradas totalmente correctas as soluções que incluem e as que não incluem as indicações das arestas invisíveis.

Nota 1: Nos critérios atribuem 2 pontos à representação do traço frontal do plano, no entanto não só ão é solicitado como não é necessário segundo esta proposta de resolução.Nota 2: Nos critérios atribuem 4 pontos às invisibilidades mas tal não é solicitado em lado algum.

Questão 4
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico: – dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.
Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.
Esta questão parece-nos já familiar, consulte o teste 3.2 aqui

Nesta solução não rebatemos o par de eixos XZ já que se tratava de uma dimetria e ... não ficaria muito bem na nossa pequena folha A4. Na folha de exame havia espaço suficiente pelo que o rebatimento de 2 pares de eixos seria o processo mais comum.

Optamos portanto por determinar o centro das bases do prisma hexagonal recorrendo a um triângulo determinado no par de eixos XY em rebatimento.

Como exemplo de "economia de recursos" pensamos que os critérios de classificação deveriam ponderar esta questão.

Exame 2009 - 1 fase - Proposta de Resolução

Prova (enunciado da prova de exame)
Critérios (os critérios de correcção permitem ficar com uma ideia de qual será o resultado)
Proposta de Resolução (Esta proposta é apenas uma forma possível de resolver a prova) consulta outras em: Aproged ou Elísio Silva ou Vera Viana

Caros Artistas.
Não é possível responder a todos os comentários de momento.
Peço-vos que consultem os Critérios de Correcção, será fácil terem uma ideia.

PROVA:1. Determine as projecções da recta de intersecção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.
Dados
– os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;
– o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

A recta de perfil solicida é redundante. Mais ainda, não consigo encontrar qualquer justificação para aquela recta "b" existir, já que o plano fica totalmente definido pelo seu traço horizontal e o ponto "B", se fosse fornecida a abcissa deste.(comentário revisto) Digamos que a recta de perfil, apresentada como um dado que deveria definir o plano beta, não serve para o definir mas apenas para indicar a abcissa do ponto "B". Torna assim este exercício de geometria num exercício de interpretação.



Como os dois planos continham o mesmo ponto do eixo dos X bastou procurar o segundo ponto comum aos 2 planos.

Assim, coloquei 2 rectas de nível, "a" do plano alfa e "n", do plano beta, a passar em "B" e paralela ao traço horizontal do plano beta.

O segundo ponto foi assim obtido pela concorrência dessas duas rectas.






2. Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.
Dados– a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4);
– a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o ponto F, traço frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
– a recta s é concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota;
– as projecções da recta s são perpendiculares às projecções homónimas da recta r.

Esta 2.ª Questão é francamente fácil.
Optamos como eixo de rabatimento pelo traço horizontal do plano definido pelas duas rectas e rebatemos o ponto comum "P"












3. Represente, pelas suas projecções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo
apresentados. Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada. Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.Dados– a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;
– o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

A 3.ª Questão foi também um exercício símples, apesar de não concordar com certos termos do enunciado.


Determinamos o ponto "I" que corresponde à sombra virtual do vértice no plano da base do cone. Assim determinamos os pontos de tangência e portanto a separatriz e sombra própria.
A sombra projectada deu um pouco de trabalho já que tinha uma longa parte curva.













4. Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonometrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.Prismas:
– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– ambos os prismas têm 9 cm de altura.
Prisma triangular regular 1:
– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.
Prisma triangular regular 2:
– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– a aresta da base mede 4 cm.

Esta Projecção Cavaleira está bem imaginada. Símples e parca a testar conhecimentos como o rebatimento duplo do "Y", mas complexa (algo complicada) na determinação do sólido final.



Rebatemos o "Y" e não necessitamos de determinar a direcção de afinidade já que as figuras planas a construir se posicionavam paralelas ao plano axonométrico.

Teste GDA II - 3.3 - Resolução

Enunciado - Resolução (modelo de Exame Nacional)
Este teste foi concebido como um modelo do exame nacional de geometria descritiva a de 2009.

Questão 1.

No ponto "A" colocamos duas rectas, uma paralela a "r" e outra perpendicular ao plano beta. O plano definido por estas rectas, r´ e p, é paralelo a "r" e perpendicular a beta.

Questão 3.
Este exercício é relativamente símples.
1. Desenhamos duas rectas frontais do plano secante com os afastamentos das bases do prisma.Isso permitiu identificar os 2 segmentos da secção correspondentas às bases.
2. Restando apenas 3 arestas de topo, colocamos 3 rectas de nível do plano com a mesma cota que as arestas do sólido. Encontramos assim os 3 pontos da secção relativos às arestas e portanto os segmentos relativos às faces laterais.

Apostaria neste sólido

GDA II - Teste 3.2 - Resolução

Questão 1 Perpendicularidade20 min

Determine os traços do plano α perpendicular ao plano β.

- o plano β contém o ponto B (2; 5; 3) e uma recta horizontal n
- a recta n tem 7 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fn tem abcissa nula.
- o plano α contém os pontos A (0; 4; 3) e H (-4; 2; 0)
resolução de Marco Vieira

Questão 2 Sombra
25 min

Represente o quadrado [ABCD], contido num plano de rampa β.
De acordo com a direcção luminosa convencional, determine a sombra produzida pelo quadrado [ABCD] nos planos de projecção.
Traceje, nas suas partes visíveis, a sombra nos planos de projecção, utilizando linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa.

- o centro do quadrado é o ponto 0(3; 4; 3);
- o traço frontal do plano β tem 6 de cota
- o vértice A está no traço horizontal de β e tem 4 de abcissa.

resolução de Marco Vieira

Questão 3 Axonometria Clinogonal
35 min

Construa uma representação axonométrica clinogonal, em projecção cavaleira, de uma forma tridimensional composta por um cubo e um prisma hexagonal regular, , de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois sólidos.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz um ângulo de 135º com o eixo axonométrico x (x deve ser orientado da direita para a esquerda)
- as projectantes fazem ângulos de 65º com o plano axonométrico
resolução de Miguel Freitas

Sólido:

- os pontos A (3; 3; 6) e B (3; 6; 6) definem uma aresta de um quadrado de perfil [ABCD] que é uma face lateral dos dois sólidos.
- todos os vértices têm coordenadas positivas.

(o sólido tem duas posições possíveis, opte por uma delas)

resolução de Marco Vieira

GDA II - Teste 3.1 - Resolução

Enunciado da Prova

Determine graficamente a amplitude do ângulo formado
pela recta r com o plano obliquo α.
- a recta r é paralela ao eixo x e tem 4 de afastamento e
6 de cota;
- os traços, horizontal e frontal, do plano α fazem com o
eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e de 60º (ambos
de abertura para a direita).








Determine as projecções de uma pirâmide quadrangular
regular evidenciando a parte visível compreendida entre
o plano α e os planos de projecção sabendo:
A pirâmide tem como base o quadrado [ABCD] situado
num plano de perfil, sendo A(0;1;1) e B(0;0;6).
O vértice do sólido tem 6 de abcissa
O plano α intersecta o eixo dos X num ponto com 9 de
abcissa e os seus traços fazem, ambos, 45º ad










Construa uma representação axonométrica ortogonal de
uma forma tridimensional composta por duas pirâmides
pentagonais regulares, de base horizontal, de acordo
com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do
sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.
Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz ângulos de 131º30' com os
eixos axonométricos z e x;
Pirâmides:
- ambas as pirâmides têm por base o pentágono regular
[ABCDE], situado num plano horizontal com 7 de cota;
- o centro do pentágono é o ponto M, que tem 4 de
abcissa e 5 de afastamento;
- o vértice A fica situado no plano coordenado lateral yz
e tem 5 de afastamento;
- o vértice principal V de uma das pirâmides tem 10 de cota;
- o vértice principal V' da outra pirâmide pertence ao plano
coordenado horizontal xy.

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos α e β.
- os planos intersectam-se na recta de perfil p, cujos traços nos planos de projecção são os pontos H (– 3; 6; 0) e F, com 3 de cota;
- os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- os traços do plano β intersectam o eixo x no ponto Y, com 9 de abcissa.


Determine as projecções de uma pirâmide quadrangular regular evidenciando a parte visível compreendida entre o plano α e os planos de projecção sabendo:
A pirâmide tem como base o quadrado [ABCD] situado num plano de nível, sendo A(3;4;2) e B(-2;2;2)
O sólido tem 6 de altura
O plano α intersecta o eixo dos X num ponto com 10 de abcissa e os seus traços fazem, ambos, 45º ad

Construa uma representação axonométrica ortogonal de
uma forma tridimensional composta por dois paralelepípedos
rectângulos, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do
sólido resultante da justaposição dos dois paralelepípedos.
Sistema axonométrico:
- Isometria.
Sólido:
- a face [MNOP] de um dos paralelepípedos está contida
no plano coordenado xy;
- o ponto O coincide com a origem dos eixos;
- o ponto N fica situado no eixo x e tem 3 de abcissa;
- o ponto P fica situado no eixo y e tem 7 de afastamento;
- as arestas perpendiculares à face [MNOP] medem 8 cm;
- o segundo paralelepípedo tem 1,5 cm de altura
- os pontos R (8; 0; 9,5), S (0; 0; 9,5) e T (0; 7; 9,5) são três
vértices da sua face de maior cota.