Sombras

Aproged

Este blogue, dedicado à Geometria Descritiva, reconhece particular importância à associação APROGED.
(como é presente, neste blogue, a referência por hiperligações a diversos "sites" desta instituição)
Considera ainda que esta associação é fundamental para uma optimização da qualidade do ensino desta disciplina a nível nacional.
Estranha portanto as declarações reveladas em: http://www.aproged.pt abaixo transcritas:
Declaração da APROGED: "Informamos que nos encontramos impossibilitados de continuar a assegurar a maioria das actividades com que nos comprometemos com os nossos associados e a comunidade educativa, porque o Ministério da Educação não atribuiu, para 2009/2010, nenhuma redução de horário lectivo a qualquer elemento da Direcção da Aproged.

Por não considerarem que as nossas actividades se enquadram nas suas intervenções prioritárias, o Ministério da Educação, manifestamente, desvaloriza a actividade associativa entre Professores e impede o desenvolvimento cabal da nossa missão junto da comunidade educativa, facto que lamentamos."

Ligação da Semana - Geometria D. Maria

Iniciamos, amanhã, o novo ano lectivo

Fica aqui uma foto das novas instalações das artes

Exame GDA - 2 fase - Proposta de Resolução

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Enunciado e Critérios - Proposta de Resolução

Comente, critique, clicando aqui

Esta prova foi, segundo os alunos "à porta das urnas", mais difícil que a da primeira fase. Acreditamos que sim. Julgamos que a não inclusão de um exercício mais fácil e um outro muito difícil não contribui para uma verdadeira avaliação dos examinandos.

Neste exame todas as questões estão no mesmo patamar de grau de dificuldade, ou por serem casos particulares ou por todas as questões terem pelo menos um "grão de areia"

Julgamos muito mais correctas as provas do ano passado, verdadeiramente "progressivas" em termos de dificuladade.

Julgamos também que seria importante indicar aos examinandos se em determinados sólidos devem ser ou não assinaladas as invisibilidades, não dizer nada só serve para criar confusão desnecessária. (estamos a falar, concretamente da questão 3)

Questão 1

Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.

Dados

– o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;

– os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

Este exercício foi amplamente trabalhado no bloco I.
Optamos por colocar duas rectas ("p" e "n"), uma de cada plano (neste caso ambas de nível), coincidentes na projecção frontal, a concorrência delas dá-nos o segundo ponto comum aos dois planos.
Nota 1: Nos critérios atribui-se 1 ponto à identificação dos traços de teta, no entanto tal não é solicitado no enunciado
Nota 2: No processo de resolução consideramos redundante a utilização de um "plano auxiliar", conforme demonstra esta resolulção tal plano não é necessário.

Questão 2

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.

Dados

– o traço frontal do plano α intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).

Para determinarmos a distância entre os dois planos paralelos, bastou fazer passar por um ponto (P) do plano beta, uma recta ortogonal ao plano alfa. Encontrada a intersecção dessa recta com o plano alfa obtemos a distância revelada no segmento [P I]. A V.G. foi obtida por uma rotação.


Questão 3

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados

– a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;

– os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respectivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;

– as diagonais da base medem 10 cm;

– o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];

– a pirâmide tem 12 cm de altura.

Este problema deu bastante trabalho.
Foi feito um primeiro rebatimento do plano oblíquo para determinar as projecções da base do sólido.
Colocou-se o eixo da pirâmide perpendicular ao plano da base, contendo o seu centro.
Foi ainda necessário rodar o eixo anterior de forma a poder aplicar o valor da alura do sólido.

No enunciado não havia qualquer referência acerca das invisibilidades, julgo portanto, que serão consideradas totalmente correctas as soluções que incluem e as que não incluem as indicações das arestas invisíveis.

Nota 1: Nos critérios atribuem 2 pontos à representação do traço frontal do plano, no entanto não só ão é solicitado como não é necessário segundo esta proposta de resolução.
Nota 2: Nos critérios atribuem 4 pontos às invisibilidades mas tal não é solicitado em lado algum.

Questão 4

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico: – dimetria:

a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular regular:

– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;

– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.

Prisma hexagonal regular:

– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;

– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.

Esta questão parece-nos já familiar, consulte o teste 3.2 aqui

Nesta solução não rebatemos o par de eixos XZ já que se tratava de uma dimetria e ... não ficaria muito bem na nossa pequena folha A4. Na folha de exame havia espaço suficiente pelo que o rebatimento de 2 pares de eixos seria o processo mais comum.

Optamos portanto por determinar o centro das bases do prisma hexagonal recorrendo a um triângulo determinado no par de eixos XY em rebatimento.

Como exemplo de "economia de recursos" pensamos que os critérios de classificação deveriam ponderar esta questão.

Devido a recentes solicitações, haverá uma aula de apoio de GDA às 10:30.

Se chegarem depois da hora marcada perguntem pela sala ao porteiro.

Bom esudo.

Pedidos de Revisão de Provas

Novamente se alerta os alunos para confirmarem os critérios de correcção.
Acabamos de elaborar um pedido de revisão que poderá alterar em alguns valores uma prova de nível muito elevado. Nas provas de nível médio nomalmente as alterações são maiores.

Estarei na Escola para apoio aos pedidos de Revisão pelas 14:30, no entanto, os alunos deverão ter já em seu poder as fotocópias das provas.

Resultados dos Exames Nacionais

São hoje afixados os Resultados dos Exames Nacionais.

O Professor estará na Escola por volta das 15:00 - 16:00 para ajudar em eventuais pedidos de revisão de provas.

Quem entender que não foi devidamente classificado deve solicitar fotocópia do seu exame.

Entretanto coloquem aqui as vossas dúvidas.

Consultados os resultados, e atendendo ao enunciado da prova, estão (quase) todos de Parabéns.
Particularmente o Jorge, a Sara, o Hugo e o Pedro, que conseguiram melhores resultados que na classificação interna, foi um bom trabalho.

Agora sim, desejo umas maravilhosas férias para todos.

Exame 2009 - 1 fase - Proposta de Resolução

Prova (enunciado da prova de exame)
Critérios (os critérios de correcção permitem ficar com uma ideia de qual será o resultado)
Proposta de Resolução (Esta proposta é apenas uma forma possível de resolver a prova) consulta outras em: Aproged ou Elísio Silva ou Vera Viana

Caros Artistas.
Não é possível responder a todos os comentários de momento.
Peço-vos que consultem os Critérios de Correcção, será fácil terem uma ideia.

PROVA:
1. Determine as projecções da recta de intersecção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.
Dados
– os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
– o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;
– o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

A recta de perfil solicida é redundante. Mais ainda, não consigo encontrar qualquer justificação para aquela recta "b" existir, já que o plano fica totalmente definido pelo seu traço horizontal e o ponto "B", se fosse fornecida a abcissa deste.
(comentário revisto) Digamos que a recta de perfil, apresentada como um dado que deveria definir o plano beta, não serve para o definir mas apenas para indicar a abcissa do ponto "B". Torna assim este exercício de geometria num exercício de interpretação.

Como os dois planos continham o mesmo ponto do eixo dos X bastou procurar o segundo ponto comum aos 2 planos.

Assim, coloquei 2 rectas de nível, "a" do plano alfa e "n", do plano beta, a passar em "B" e paralela ao traço horizontal do plano beta.

O segundo ponto foi assim obtido pela concorrência dessas duas rectas.

2. Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.
Dados
– a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4);
– a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o ponto F, traço frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
– a recta s é concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota;
– as projecções da recta s são perpendiculares às projecções homónimas da recta r.

Esta 2.ª Questão é francamente fácil.

Optamos como eixo de rabatimento pelo traço horizontal do plano definido pelas duas rectas e rebatemos o ponto comum "P"












3. Represente, pelas suas projecções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo
apresentados. Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada. Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
Dados
– a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;
– o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

A 3.ª Questão foi também um exercício símples, apesar de não concordar com certos termos do enunciado.

Determinamos o ponto "I" que corresponde à sombra virtual do vértice no plano da base do cone. Assim determinamos os pontos de tangência e portanto a separatriz e sombra própria.
A sombra projectada deu um pouco de trabalho já que tinha uma longa parte curva.

4. Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonometrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prismas:
– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– ambos os prismas têm 9 cm de altura.
Prisma triangular regular 1:
– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.
Prisma triangular regular 2:
– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– a aresta da base mede 4 cm.

Esta Projecção Cavaleira está bem imaginada. Símples e parca a testar conhecimentos como o rebatimento duplo do "Y", mas complexa (algo complicada) na determinação do sólido final.

Rebatemos o "Y" e não necessitamos de determinar a direcção de afinidade já que as figuras planas a construir se posicionavam paralelas ao plano axonométrico.

Dia D-2

A Orion - Sociedade Científica de Astronomia do Minho - disponibilizou ou seu espaço a dois Professores de Geometria Descritiva. Sábado dia 20, na sede da Orion (Mapa - procurar Junta de Freguesia de Gualtar), haverá uma sessão de estudo para a preparação do exame nacional de Geometria Descritiva.
São convidados todos os alunos.
A sessão terá início às 15:00 e terminará pelas 19:00.