25 de julho de 2023

Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 2.ª Fase - Item 1 - (proposta de resolução)

Determine os traços do plano de rampa δ nos planos de projeção. 

Dados:  

− o plano δ contém a reta i, comum ao plano α;  

− o plano α é definido pelo ponto A, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β24, com 3 de abcissa e 4 de afastamento, e pela reta frontal f;  

− a reta f contém o ponto B (0; – 5; 5), e a sua projeção frontal define um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;  

− a reta i contém o ponto B e é uma das retas de maior inclinação do plano α



Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 2.ª Fase - Item 2 - (proposta de resolução)

Determine as projeções de uma pirâmide reta de base regular hexagonal [ABCDEF]. 

Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido. 
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido. 

Dados:  

− o ponto O (0; 4; 3), centro da base, e o vértice V (0; 10; 9) definem o eixo da pirâmide;  

− a aresta [AV] é de perfil, e o vértice A pertence ao Plano Horizontal de Projeção.




Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 2.ª Fase - Item 3 - (proposta de resolução)

Determine as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta r e à superfície de um prisma oblíquo de bases quadradas contidas em planos frontais. 
Destaque, a traço mais forte, as projeções da reta e do sólido. 
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e das projeções da reta. 
Dados:  
− o vértice A da base [ABCD], com zero de abcissa e 3 de afastamento, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;  
− a aresta [AB] é frontal e define um ângulo de 15º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção;  
− as arestas das bases medem 6 cm;  
− o prisma tem 6 cm de altura;  
− as arestas laterais são horizontais e definem ângulos de abertura para a direita com o Plano Frontal de Projeção;  
− as arestas laterais do prisma medem 8 cm;  
− a reta r é oblíqua, definida pelo ponto P (–6; 6; 9) e pelo seu traço horizontal com 3 de abcissa e 4 de afastamento.



Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 2.ª Fase - Item 4 - (proposta de resolução)

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da truncagem produzida por um plano vertical ω num prisma oblíquo de bases regulares triangulares. 
Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido truncado, situado entre o plano secante e o Plano Frontal de Projeção. 
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido resultante. 
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção. 
Dados:  
− as bases do prisma pertencem a planos horizontais;  
− o vértice A (0; 3; 0) e o vértice B, com –5 de abcissa e 8 de afastamento, pertencem à base [ABC];  
− o vértice C tem abcissa positiva;  
− a aresta lateral [AA’] é de perfil, e o vértice A’ tem zero de afastamento e 8 de cota;  
− o plano ω contém o ponto K, do eixo x, com –8 de abcissa;  
− o plano ω define um diedro de 40º, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção



Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 2.ª Fase - Item 5 - (proposta de resolução)

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por três prismas retos de bases quadradas. 
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante. 
Dados: Sistema axonométrico:  
− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 125º com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 145º com a projeção axonométrica do eixo z;  
− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º. 
Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda. 
Prismas:  
− os três prismas são iguais e têm 2 cm de altura;  
− as bases dos prismas são paralelas ao plano coordenado xy;  
− as arestas das bases são paralelas aos eixos coordenados x e y e medem 4 cm. 
Prisma 1:  
− o vértice A (10; 8; 2) é o de maior abcissa e maior afastamento da base de menor cota do prisma 1. 
Prisma 2:  
− o vértice A é o centro da base de maior cota do prisma 2. 
Prisma 3:  
− o centro da base de maior cota do prisma 1 é o vértice de maior abcissa e maior afastamento da base de menor cota do prisma 3



3 de julho de 2023

Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 1.ª Fase - Item 1 - (proposta de resolução)

 

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta t com o plano α. 
Dados:  
− a reta t, de topo, tem 6 de abcissa e –4 de cota;  
− a reta r contém o ponto K, do eixo x, com zero de abcissa, e é uma das retas de maior declive do plano α;  
− as projeções horizontal e frontal da reta r definem, respetivamente, ângulos de 55º e de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x

Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 1.ª Fase - Item 2 - (proposta de resolução)

 


Determine as projeções de um retângulo [RSTU], contido no plano θ, e da sua sombra própria e projetada nos planos de projeção. 
Destaque, a traço mais forte, as projeções do retângulo e o contorno da sombra projetada nos planos de projeção. 
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do contorno da sombra projetada.
Preencha, com tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme, as áreas visíveis da sombra própria e projetada. 
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada. 
Dados:  
− o plano θ tem traços coincidentes, e o seu traço frontal define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;  
− o vértice R, com zero de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13;  
− o lado [ST] pertence ao Plano Horizontal de Projeção;  
− as diagonais do retângulo medem 9 cm;  
− a direção luminosa é a convencional





Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 1.ª Fase - Item 3 - (proposta de resolução)

Determine as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta r e à superfície de um cone oblíquo de base circular contida num plano frontal. 

Destaque, a traço mais forte, as projeções da reta e do sólido. 
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e das projeções da reta. 

Dados:  
− o ponto O (5; 9; 5) é o centro da circunferência que delimita a base do cone e é tangente ao Plano Horizontal de Projeção;  
− o vértice V pertence ao Plano Frontal de Projeção e tem – 3 de abcissa e 10 de cota;  
− a reta r contém o ponto P, com 7 de abcissa e 3 de afastamento, que pertence ao Plano Horizontal de Projeção;  
− a projeção horizontal da reta r define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x;  
− a projeção frontal da reta r define um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x


Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 1.ª Fase - Item 4 - (proposta de resolução)

Represente, pelas suas projeções, a figura de secção produzida por um plano oblíquo δ num prisma oblíquo de bases quadradas contidas em planos frontais. 

Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido e da figura de secção. 

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e da figura de secção. 

Dados:  

− o vértice A da base [ABCD], com zero de abcissa e 2 de cota, pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13;  

− as arestas das bases medem 7 cm;  

− a aresta [AB] é frontal, e o vértice B, com abcissa negativa, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;  

− a aresta lateral [AA’] está contida no plano bissector dos diedros ímpares, β13, e a sua projeção frontal define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;  

− o prisma tem 5 cm de altura;  

− o plano δ contém o vértice B’ da base [A’B’C’D’];  

− o traço horizontal do plano δ define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;  

− o traço frontal do plano δ define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x



Exame de Geometria Descritiva A - 2023 - 1.ª Fase - Item 5 - (proposta de resolução)

 Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas retos de bases regulares triangulares. 

Destaque, a traço mais forte, apenas as arestas visíveis do sólido resultante. 
Dados: Sistema axonométrico:  
− dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 110º com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 140º com a projeção axonométrica do eixo y. 
Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda. 
Prismas:  
− os três prismas são iguais;  
− as arestas das bases medem 7 cm. 
Prisma 1:  
− as bases do prisma são paralelas ao plano coordenado yz, e uma das faces laterais pertence ao plano coordenado xz;  
− os vértices A (9; 0; 7) e B (7; 0; 7) definem a aresta lateral com maior cota do prisma. 
Prisma 2:  
− uma das bases do prisma pertence ao plano coordenado xz, e uma das faces laterais é paralela ao plano coordenado yz;  
− o vértice A é o de menor abcissa e maior cota da base de menor afastamento do prisma. 
Prisma 3:  
− uma das bases do prisma pertence ao plano coordenado xz, e uma das faces laterais é paralela ao plano coordenado yz;  
− o vértice B é o de maior abcissa e maior cota da base de menor afastamento do prisma.


26 de julho de 2022

Item 1 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

Determine os traços nos planos de projeção dos planos α e δ.
Dados:
− a reta i é comum aos dois planos e contém o ponto P (0; 3; 5);
− as projeções horizontal e frontal da reta i definem, respetivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;
− o plano α contém o ponto M, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β24, com 7 de abcissa 
e 4 de afastamento;
− o plano δ contém o ponto N, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β24, com – 3 de abcissa e 2 de cota.


 

Item 2 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

Determine as projeções de um quadrado [ABCD] pertencente a um plano de rampa ω e da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do quadrado e o contorno da sombra projetada nos planos de 
projeção.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do contorno da sombra projetada.
Preencha, com tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme, as áreas visíveis da sombra 
projetada.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa.
Dados:
− a reta de perfil p do plano ω que contém o vértice A (0; 3; 6) define um ângulo de 50º com o Plano 
Horizontal de Projeção;
− o traço horizontal da reta p tem afastamento positivo;
− os vértices A e C definem uma diagonal do quadrado;
− o vértice C tem 9 de abcissa e 6 de afastamento;
− a direção luminosa é a convencional.



 

Item 3 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

Determine as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta r e à superfície de um prisma oblíquo de bases regulares pentagonais. 
Destaque, a traço mais forte, as projeções da reta e do sólido. 
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e das projeções da reta.
Dados:
− as bases do prisma pertencem a planos de perfil;
− o ponto O (0; 5; 7) é o centro da circunferência circunscrita ao pentágono da base [ABCDE];
− o segmento [OA] é vertical, mede 4 cm, e o vértice A é o de menor cota desta base;
− as retas que contêm as arestas laterais são frontais e definem ângulos de 20º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;
− o vértice A’ da aresta [AA’] pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
− a reta r contém o ponto P, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, β24, com zero de abcissa 
e – 2 de afastamento;
− as projeções horizontal e frontal da reta r definem, respetivamente, um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 45º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

 

Item 4 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

Represente, pelas suas projeções, a figura de secção produzida por um plano oblíquo α numa pirâmide oblíqua de base regular triangular.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido e da figura de secção.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e da figura de secção.
Dados:
− a base [ABC] da pirâmide pertence a um plano horizontal, com 8 de cota;
− o vértice A, com 6 de abcissa, pertence ao Plano Frontal de Projeção e o vértice B tem 3 de abcissa;
− a reta que contém a aresta [AB] define um ângulo de 70º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
− o vértice C tem abcissa negativa;
− a reta que contém a aresta lateral [BV] é frontal;
− a aresta [BV] mede 12 cm;
− o vértice V tem abcissa negativa e pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
− o plano α contém o ponto K, do eixo x, com 4 de abcissa;
− o traço horizontal do plano α define um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x, e o seu traço frontal define um ângulo de 70º, de abertura para a direita, com este mesmo eixo


 

Item 5 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

 

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas retos de bases regulares triangulares.
Destaque, a traço mais forte, apenas as arestas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
− isometria.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prismas:
− as bases dos prismas são iguais e paralelas ao plano coordenado xz.
Prisma 1:
− os vértices A (7; 9; 0) e B (0; 9; 0) pertencem à base de maior afastamento deste prisma;
− a outra base pertence ao plano coordenado xz.
Prisma 2:
− o vértice G (7; 7; 0) pertence à base de maior afastamento deste prisma, e a aresta oposta a este vértice 
é paralela ao eixo coordenado x;
− o prisma tem 2 cm de altura


6 de julho de 2022

Item 1 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 1.ª Fase (proposta de resolução)

 

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta m com o plano bissector dos diedros pares, β24. 
Dados: 
− a reta m contém o ponto N e é uma das retas de maior declive do plano α; 
− o plano α é definido pelo ponto L (– 4; 3; 4) e pela reta de perfil p; 
− a reta p contém o ponto M (0; – 4; 4) e o ponto N com 7 de cota; 
− a reta p define um ângulo de 35º com o Plano Horizontal de Projeção e o seu traço horizontal tem afastamento positivo.



Item 2 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 1.ª Fase (proposta de resolução)

Determine as projeções de um quadrado [RSTU] pertencente ao plano θ. 
Dados: 
− o plano θ contém os pontos J (– 1; 4; 2) e K, do eixo x, com 5 de abcissa; 
− o traço frontal do plano θ define um ângulo de 40º, de abertura para a direita, com o eixo x; 
− a diagonal [RT] pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13; 
− o vértice R tem abcissa zero e o vértice T tem abcissa – 7


 

Item 3 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 1.ª Fase (proposta de resolução)

Represente, pelas suas projeções, a figura de secção produzida por um plano de rampa δ num prisma oblíquo de bases quadradas contidas em planos frontais. 
Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido e da figura de secção. 
 Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e da figura de secção. 
Dados: 
− os pontos A (8; 0; 8) e A’ (5; 9; 0) são os extremos da aresta lateral [AA’] do prisma; 
− a reta que contém a aresta [AB] de uma das bases define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção; 
− a aresta [AB] mede 5 cm; 
− o vértice B é o vértice de maior abcissa dessa base; 
− o plano δ define um diedro de 65º com o Plano Horizontal de Projeção e contém o ponto P com 4 de cota da aresta [AA’]; 
− o traço frontal do plano δ pertence ao Semiplano Frontal Superior


 

Item 4 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 1.ª Fase (proposta de resolução)

Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular hexagonal [ABCDEF], contida num plano frontal, e das suas sombras, própria e projetada nos planos de projeção. 
Destaque, a traço mais forte, as projeções do sólido e o contorno da sombra projetada nos planos de projeção. 
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido e do contorno da sombra projetada.
Preencha, com tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme, as áreas visíveis das sombras, própria e projetada. 
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada. 
Dados: 
− os vértices A (1; 8; 3) e D com 3 de abcissa e 12 de cota definem uma das diagonais maiores da base da pirâmide; 
− o vértice B tem abcissa positiva; 
− o eixo da pirâmide mede 10 cm e pertence a uma reta de perfil; 
− o vértice V da pirâmide pertence ao Plano Frontal de Projeção e tem menor cota que o centro da base; 
− a direção luminosa é a convencional


 

Item 5 - Exame de Geometria Descritiva A - 2022 - 1.ª Fase (proposta de resolução)

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas retos de bases regulares triangulares. 
Destaque, a traço mais forte, apenas as arestas visíveis do sólido resultante. 

Dados: 
Sistema axonométrico: 
− isometria. 
Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda. 

Prismas: 
− os prismas são iguais; 
− A (6; 7; 7) e B (2; 7; 7) são os vértices da aresta [AB] comum aos três prismas. 

Prisma 1: 
− as bases do prisma são paralelas ao plano coordenado xy; 
− os vértices A e B são os de maior afastamento da base de maior cota deste prisma; 
− a base de menor cota pertence ao plano coordenado xy. 

Prisma 2: 
− as bases do prisma são paralelas ao plano coordenado xz; 
− os vértices A e B são os de maior cota da base de menor afastamento deste prisma. 

Prisma 3: 
− as bases do prisma são paralelas ao plano coordenado xz; 
− os vértices A e B são os de menor cota da base de maior afastamento deste prisma


 

3 de setembro de 2021

Item 1 - Exame de Geometria Descritiva A - 2021 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

1. Determine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta m com o plano α. 
Dados: 
− o plano α contém o ponto T do eixo x, de abcissa nula, e o ponto A (7; – 5; 2); 
− o traço frontal do plano α define um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x; 
− a reta m com – 6 de cota é fronto-horizontal e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13 


 

Item 2 - Exame de Geometria Descritiva A - 2021 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

2. Determine as projeções de um triângulo equilátero [ABC] pertencente a um plano oblíquo δ. 
Dados: 
− o plano δ é definido pelo ponto P (7; – 1; 6) e pelo lado [AB] de perfil, com 2 de abcissa; 
− o vértice A com 9 de cota pertence ao Plano Frontal de Projeção; 
 − o vértice B com 2 de afastamento pertence ao Plano Horizontal de Projeção


 

Item 3 - Exame de Geometria Descritiva A - 2021 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

 3. Determine as projeções dos pontos X e Y, comuns à reta oblíqua r e à superfície de uma pirâmide oblíqua de base quadrada. 

 Destaque, a traço mais forte, as arestas visíveis nas projeções da pirâmide e a parte visível das projeções da reta. 

Destaque, a traço interrompido forte, as arestas invisíveis nas projeções da pirâmide e a parte invisível das projeções da reta

Dados: 

− a base [KLMN] pertence a um plano horizontal; 

− o ponto O (5; 8; 2) é o centro da circunferência circunscrita ao quadrado da base, e o vértice K tem zero de abcissa e 7 de afastamento; 

− o vértice V pertence ao Plano Frontal de Projeção e tem zero de abcissa e 11 de cota; 

− a reta r é oblíqua e contém os pontos P (11; 6; 7) e Q do eixo x com – 9 de abcissa


Item 4 - Exame de Geometria Descritiva A - 2021 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

4. Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical θ num cone oblíquo, de base circular pertencente a um plano frontal. 
Destaque, a traço mais forte, a parte do cone situada entre o plano secante e o Plano Frontal de Projeção. 
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção. 
Dados: 
− o ponto O (5; 2; 5) é o centro da base tangente ao Plano Horizontal de Projeção; 
− o eixo do cone é horizontal, mede 10 cm e o vértice V tem zero de abcissa; 
− o plano vertical θ contém o ponto M do eixo x com 9 de abcissa e é paralelo à geratriz que contém o ponto mais à esquerda da base do sólido.

 

Item 5 - Exame de Geometria Descritiva A - 2021 - 2.ª Fase (proposta de resolução)

 5. Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois paralelepípedos retângulos. 

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante. 

Dados: Sistema axonométrico: 

− a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 130º com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 140º com a projeção axonométrica do eixo z; 

− a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º. 

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda. 

Paralelepípedos: 

− as faces paralelas ao plano coordenado yz dos dois paralelepípedos são iguais; 

− duas arestas destas faces são paralelas ao eixo coordenado y e medem 4 cm; 

− duas arestas destas faces são paralelas ao eixo coordenado z e medem 2 cm. 

Paralelepípedo 1: − o ponto A (10; 6; 0) é o vértice de maior abcissa e menor afastamento de uma das faces paralelas ao plano coordenado yz; − a outra face paralela pertence ao plano coordenado yz. Paralelepípedo 2: − o ponto I (10; 4; 2) é o vértice de maior abcissa, menor afastamento e menor cota de uma das faces paralelas ao plano coordenado yz; − a outra face paralela ao plano coordenado yz tem 4 de abcissa.