GDA I - Teste 1.2

Enunciado do Teste 1.2   Versão A  Versão B

Resolução da Versão B

Apoio GDA e Plano 2010 - 2011

GDA II - Teste 1.2

Matriz:
3 questões de resolução obrigatória

Questão 1 (50 pontos)


Paralelismo e Perpendicularidade
ou Distâncias
Exercícios Aproged:
PARALELISMO DE RECTAS E PLANOS
PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS
PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS

Questão 2 (70 pontos)


Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento) podendo incluir a determinação das sombras no planos de projecção


Exercícios Aproged:
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA
SOMBRAS DE FIGURAS PLANAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

Questão 3 (80 pontos)


Construção de um sólido geométrico regular ou irregular e determinação das suas Sombras (Própria e Projectada nos planos de projecção)


Exercícios Aproged:
SOMBRAS DE SÓLIDOS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

GDA I - Teste 1.2

Matriz:
3 questões de resolução obrigatória

Questão 1


Relação Ponto/Recta, Rectas Complanares e seus pontos notáveis.


Concorrência (ponto comum) e Paralelismo de Rectas

Questão 2


Sólidos regulares com bases paralelas ao Plano Frontal ou ao Plano Horizontal.


Rectas e pontos situados nas faces ou na superfície dos sólidos anteriores
(rectas comuns a um mesmo plano)

Questão 3


Intersecção das faces de sólidos regulares com planos horizontais, frontais ou com os bissectores.


(recta comum a dois planos)

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Atingimos, hoje, 100.000 visitas (por um visitante de Braga) e quase 40.000 visitantes.

GDA II - O que se segue

Tal como em anos anteriores, e com o objectivo de "descomprimir" um pouco do elevado nível de complexidade dos conteúdos relativos a "Problemas métricos" e "Paralelismo/Perpendicularidade", é alterada sequência da planificação, incluindo, neste primeiro período, os conteúdos "Sólidos de bases não projectantes e Sombras de Sólidos".


Pelo maior interesse que a maioria dos alunos revela pelas "Sombras" e pelo grau de complexidade menor, esperamos conseguir uma maior motivação e empenho por parte dos alunos.









Ficam aqui dois desenhos a ilustrar estes próximos conteúdos até ao Natal.

GDA II - Teste 1.1 - Questão 1 - Paralelismo e Perpendicularidade

Enunciado e Resolução em PDF



Questão 1 V1  Paralelismo e Perpendicularidade

25min
(resolução de Sara Baptista)

Determine os traços de um plano teta paralelo à recta “a” e perpendicular ao plano alfa

O plano teta contém o ponto Q(0;3;4)
A recta a contém o ponto A(6;2;3), a sua projecção horizontal faz 45º (ad) e a sua projecção frontal faz 30º (ad) com o eixo dos X
O plano alfa é perpendicular ao beta24, intersecta o eixo dos X no ponto de abcissa –6 e o seu traço horizontal faz, com este, 45º (ad)

Resolução:
Um Plano é paralelo a uma Recta quando contém uma recta paralela à dada.
Um Plano é perpendicular a outro plano quando contém uma recta que lhe é perpendicular.

Neste caso a aplicação é directa, colocaram-se duas rectas a passar no ponto Q, uma paralela à recta "a" e outra perpendicular ao plano alfa.
O plano definido pelas rectas encontradas é o plano pretendido. 

Questão 1 V2 Perpendicularidade

25 min
(resolução de Bruno Barbosa)

Determine as projecções de um plano alfa que contém a recta r e é perpendicular ao plano beta.

A recta “r” contém os pontos R(3;2;7) e S(0;6;3)
O plano beta intersecta o eixo dos X no ponto de abcissa –5, é perpendicular ao beta13 e o seu traço horizontal faz 60º (ae) com o eixo dos “X”

Resolução:
Semelhante ao exercício anterior, apenas tivemos que colocar uma recta perpendicular ao plano alfa, passando num ponto da recta "r".
O plano pretendido fica então definido pelas duas rectas concorrentes.

GDA II - Teste 1.1 - Questão 2 - Perpendicularidade

Questão 2 V1  Perpendicularidade
(equivalente a distância)
(resolução de David Gonçalves)

25 min

Determine as projecções da recta a que contém o ponto A(4;5;0) e é perpendicular à recta b

A recta b é de perfil, passante e contém o ponto B(-2;5;7)



Resolução:
Este exercício é basicamente semelhante a uma distância Ponto / Recta de Perfil.


Ambos os alunos optaram pelo rebatimento do plano de perfil para determinar a intersecção do plano de rampa que contém o ponto e é perpendicular à recta de perfil. 
Como o plano (de rampa) obtido é, "na 3.ª projecção, como que um plano de topo" foi aí que determinaram também o ponto de intersecção da recta de perfil com esse plano que lhe é perpendicular.

Questão 2 V2  Perpendicularidade
(equivalente a distância)
(resolução de Bruno Barbosa)
 

25 min

Determine as projecções da recta a que contém o ponto A(4;0;5) e é perpendicular à recta b

A recta b é de perfil, passante e contém o ponto B(-2;7;5)

GDA II - Teste 1.1 - Questão 3 - Distâncias

Questão 3 V1    Distâncias  (resolução de David Gonçalves)
30 min

Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (4;5;6) e o plano alfa 

O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(-7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ad) com o eixo dos “X”

Questão 3 V2    Distâncias (resolução de Bruno Barbosa)  

30 min

Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (-4;5;6) e o plano alfa

O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ae) com o eixo dos “X”


Resolução:
Esta distância baseia-se nos mesmos princípios da questão 1 (perpendicularidade recta/plano)
Claro que quem quer raciocinar um pouco, olha à sua volta, procura um ponto e um plano (por exemplo o nariz do professor e a parede)
Claro que concluirá que a distância entre ambos se consegue com uma perpendicular à parede.
Então o processo é simples, passa uma recta pelo nariz do professor e procura o ponto onde essa recta "fura" a parede, ou seja a intersecção recta/plano.
Após isso basta rodar o segmento entre os pontos (nariz e furo na parede) de forma a colocar numa posição frontal ou horizontal, para que toda a turma veja a verdadeira grandeza.

GDA I - Teste 1.1

Enunciado da Prova
Resolução de Gisele Araújo

1. Representação do PONTO
Represente os seguintes pontos e indique, com siglas, os locais onde se encontram. (siglas: PHp, PFp, b13, b24, ID, IID, IIID, IVD)

A(9;6;6)

B(6;6;-4)

C(3;7;0)

D(-1;-3;3)

E(-3;0;5)

F(-6;-6;-6)
G(-9;5;5)

2. Percurso e pontos notáveis da recta
Represente a recta “a” definida pelos pontos A(4;5:6) e B(-4;2;-1)

Determine os seus pontos notáveis. (H,F,Q,I)

Indique o percurso da recta ao longo dos diedros.

Coloque, na recta, um ponto P com 3 de afastamento

3. Alfabeto da Recta
Represente as seguintes rectas.

indique os seus nomes e as suas características.

a definida por A(11;4;8) e B(7;2;8)

n definida por G(-6;-3;7) H(-9;-3;2)
t definida por M(-11;6;6) N(-11;2;6)
g definida por U(1;7;3) e V(-3;7;3)

c definida por C(4;3;5) e D(4;3;0)

4. Rectas complanares (concorrentes e paralelas)

Representa a recta “a” e “b” sabendo:

As rectas são concorrentes no ponto P(1;5;4)

A recta “a” contém o ponto A(5;2;7)

A recta “b” contém o ponto B(-4;5;9)

  Represente a recta “f“ de intersecção do plano (que contém as rectas “a” e “b”) com o plano frontal de projecção. 

Represente uma recta “n” horizontal (de nível), com 8 de cota, complanar com as rectas “a” e “b”

Paralelismo entre Rectas

Rectas paralelas apresentam-se sempre paralelas em todas as suas projecções.

Todas as rectas (não de perfil) que se apresentam paralelas entre si na projecção horizontal e na projecção frontal são espacialmente paralelas entre si.

As rectas de perfil, para garantirem o seu paralelismo, requerem uma 3.ª projecção ou um método que garanta que são complanares.

Neste primeiro exemplo à esquerda optamos por representar a 3.ª projecção.

  

Neste segundo exemplo optamos por colocar mais duas rectas concorrentes entre e com as rectas de perfil, garantindo assim que são complanares.

"Quem souber representar o ponto a recta e o plano sabe toda a geometria descritiva".

As intersecções são na realidade relações ponto/recta/plano e sem o seu o perfeito domínio será impossível obter um bom resultado no Exame Nacional. Vamos trabalhar para vercer algumas destas dificuldades.

Lembre-se Ponto/recta/plano

A Lua hoje de madrugada - Sombra de uma Esfera

 

Boas Férias

Exame Geometria Descritiva 2010 fase 2 - Proposta de Resolução

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Enunciado da prova

Critérios de Classificação

Clique nas Imagens para ampliar

Questão 1 - Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados
– o plano α é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a

direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;

– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

Proposta de resolução: Na primeira solução não representamos as rectas a e b pois já que se conheciam as suas direcções bastou representar as rectas a´ e b´, com as mesmas direcções, passando no ponto P.

Desta forma as rectas representadas, porque são paralelas às primeiras, definem o plano π (pi) paralelo a α (alfa)

Nota: Nos Critérios de Classificação são atribuidas cotações à representação do ponto "S" e das rectas "a" e "b", e até aos traços do plano alfa, no entanto tal representação não é solicitada no enunciado.

É possível resolver esta questão sem recurso à representação das rectas fornecidas e dos traços do plano delta, sendo conhecidas como são as direcções das rectas do primeiro plano, basta criar duas novas rectas, com a mesma direcção das anteriores, a conterem o ponto P, dessa forma garantimos que o plano que contém estas segundas rectas é paralelo ao primeiro plano.

Questão 2 - Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes;

– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

Proposta de Resolução: Colocamos um ponto P qualquer e por ele fizemos passar duas rectas perpendiculares aos planos. (julgamos que não é absolutamente necessário representar os planos dados pois aqui novamente são conhecidas as suas direcções) Rebatemos a recta perpendicular ao plano obliquo δ usando como eixo a recta perpendicular ao plano de topo θ, já que esta última é frontal.

Questão 3 - Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do prisma.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

Dados

– as bases estão contidas em planos de perfil;

– os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respectivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE];

– o plano de perfil da outra base tem – 5 de abcissa;

– a direcção luminosa é a convencional.
.

Questão 4 - Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico: – trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos
– os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular:

– uma base está situada no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular:

– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;

– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

Resultados dos Exames de 2010

Hoje é dia de Resultados.
(os nacionais podem ser consultados aqui)

Os alunos que detectarem uma grande diferença, entre a classificação esperada e a obtida na pauta, devem pedir uma cópia do exame e confrontar a prova com os critérios de classificação (tabela aqui)

O Professor estará disponível na escola toda a manhã de Segunda 12 para verificar/discutir eventuais fundamentos para pedidos de reapreciação de provas. Consultar este site tipo FAQ para conhecer os procedimentos

Para os alunos que conseguiram os resultados pretendidos desejo-lhes uma boas e grandes Férias.

Na média, os nossos alunos corresponderam ao previsto.

Parabéns a todos, mas particularmente à Juliana, ao Pedro, à Vanessa e ao Wilson.

Aqui ficam estes gráficos comparativos dos resultados desta escola.

Deve ser esclarecido que a média nacional caíu 1,5 valores. Resolvi portanto alterar a relação da diferença entre as classificações internas-externas para a diferença da "queda" das respectivas classificações. (gráfico de cima)

Classificação da prova de Exame de Geometria Descritiva 2010

Para teres uma ideia sobre a classificação que terás na prova de Exame, avalia tu mesmo a tua resolução.

Enunciado do Exame
Resolução
Critérios de Classificação
Tabela de Avaliação (avalia a tua prova)

Questão 1 - Proposta de Resolução Exame 2010

Comente
Determine as projecções da recta s perpendicular à recta r.

Dados

– a recta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
– a recta s, concorrente com a recta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

Nesta primeira proposta optou-se por rebater o plano que contém a recta "r" e o ponto "P".

Em rebatimento (verdadeira grandeza) colocou-se a recta "s" a passar em "P" e perpendicularmente à recta "r".

Inverteu-se então o rebatimento, obtendo desta forma as projecções da recta "s" .

Comentário: Este exercício é tipicamente uma distância ponto recta (excepto a determinação da VG da distância). Pode ter outras formas de resolução como seguidamente se descreve neste segundo exemplo (solicitado por aqueles que só utilizam as metodologias dos manuais)

Nesta segunda proposta colocamos um plano ortogonal à recta "r" e contendo o ponto "P". (todas as rectas desse plano serão portanto ortogonais à recta "s")

Para que as rectas sejam perpendiculares deverão ser concorrentes, portanto determinou-se a intersecção da recta "r" com o plano anterior obtendo o ponto "R".

A recta "s" passa a conter o ponto "P" e o ponto "R" sendo portanto perpendicular a "r"

Questão 2 - Proposta de Resolução Exame 2010

COMENTE

Determine as projecções do triângulo [LMN].

– o triângulo está situado no 1.º diedro;

– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;

– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;

– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;

– o lado [LN] mede 8 cm;

– o ponto N é o vértice de menor cota.

Reconheço que me surpreendeu este exercício, não pela complexidade mas pela barafunda deste enunciado, de tal forma que errei a primeira tentativa colocando os 8 cm no lado MN e não no LN como solicitado.

A solução aqui apresentada passa por 2 rebatimentos, o primeiro para colocar a recta de perfil a formar um ângulo de 50º com o PHP e o segundo, rebatimento do plano obliquo que contém a recta de perfil e o ponto "L" de forma a permitir colocar os 8 cm no lado LN.

Questão 3 - Proposta de Resolução Exame 2010

Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da base.
Preencha a tracejado a projecção visível da secção.– a base está contida num plano horizontal;
– o vértice V (0; 6; 10) e o ponto A (5; 6; 2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;
– o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

Optamos pela determinação de pontos resultantes das intersecções de algumas geratrizes com o plano de topo.

Questão 4 - Proposta de Resolução Exame 2010

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por doisprismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Sistema axonométrico: – dimetria:
a projecção axonométrica do eixo x faz ângulos de 125º com a dos eixos y e z.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.




Prisma hexagonal regular:
– duas faces são horizontais;
– a face de menor cota está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto A com 2 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto B com 2 de abcissa e 10 de afastamento definem uma aresta dessa face;
– uma das bases está contida no plano coordenado de perfil yz.


Prisma quadrangular regular:
– uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto P com 2 de abcissa e 6 de afastamento e o ponto Q com 2 de abcissa e 8 de afastamento definem a aresta de menor abcissa dessa base;
– a outra base está contida no plano da face de maior cota do prisma hexagonal.

Apocalipse

Amanhã é dia de Apocalipse, ou seja Revelação.
Esperamos um exame difícil mas justo, que avalie efectivamente o desempenho de cada estudante.

Bom Exame

Aula 5 de Apoio Exame - dia 22 de Junho 14:30

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Plano de Estudo
Resolver as provas: Teste 3.3 e Teste 3.4  e ainda os Exame Nacionais 2009.1 e 2009.2

NB: Notações, Convenções, Rigor, Qualidade Gráfica.

Atenção: (mais uma vez)
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De acordo com as Informações relativas ao Exame

"Não são pontuáveis as notações inexistentes, ilegíveis, ou em desacordo com as convenções usuais, as construções com falta de rigor, comprometedoras da eficácia do processo de resolução gráfica do problema, de traçados de difícil legibilidade, ou irregulares, com espessuras e/ou intensidades aleatórias, a execução muito deficiente de tracejados ou de manchas de preenchimento de secções e áreas de sombra, nem o desenho ostensivamente mal enquadrado na área útil da folha de prova."

Assim, aconselho novamente a preparação e afinação de todo o material necessário. Estão aqui presentes alguns exemplos a seguir de forma a não perderem pontuação neste item que é normalmente cotado em 10%

Imagens de resoluções a analisar:    (clique para aumentar)

Consulte também:Elísio Silva