Novas "salas" de aula

Atenção - Inscrições para Exames Nacionais

O período de inscrições para os Exames Nacionais 2011 decorre entre 21 de Fevereiro e 2 de Março

Calendário Exames Nacionais 2011

Foi publicado o calendário dos próximos exames nacionais em : http://dre.pt/pdf2sdip/2011/01/021000000/0590705909.pdf

O período de inscrição para exame é de  21 de Fevereiro a 2 de Março

Aula de Geometria

Exame Nacional 2011 - Informações

Foram publicadas as informações para os exames nacionais deste ano lectivo (2010/2011)

708 - Geometria Descritiva A
706 - Desenho A

Deve ser consultada a página do GAVE ao longo do ano e verificar se as presentes informações não sofreram qualquer alteração ou se foram publicadas informações complementares.

Deve ser também consultada a página do GAVE que faculta o acesso a provas realizadas em anos anteriores.

Para a preparação do exame aconselha-se a resolução das provas de exame:

708 e 708 de 2008 a 2010  (Geometria Descritiva A)

408 (Desenho e Geometria Descritiva A) - A 1.ª questão do 2.º grupo é menos importante

GDA II - Teste 1.2

Enunciados:  Versão A  Versão B  Versão C

Questão 1 Paralelismo e Perpendicularidade

Determine os traços do plano  que contém o ponto B (–4;3;4) e é paralelo ao plano .

Dados

– o plano  é definido pelas rectas a e b;

– a recta a contém o ponto A (3;5;5);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 35º de abertura para a direita;

Questão 2 Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento)

Determine as projecções de um pentágono regular [ABCDE], de acordo com os seguintes dados:

- O pentágono está contido no plano oblíquo ;

- O traço frontal do plano plano  faz um ângulo de 45º (ad) e intersecta o eixo dos X num ponto com 5 de abcissa

-.O ponto O(0;4; 3) é o centro do polígono.

- O vétice A situa-se sobre a mesma recta de maior inclinação que o centro “O” e tem 1 de afastamento

Questão 3 Sombras de sólidos

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide quadrangular regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Determine a sombra própria do sólido e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.

Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

– a base [ABCD] está contida num plano horizontal;

– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 7 de afastamento;

- o vértice “A” da base tem 6 de abcissa e 6 de afastamento

– o vértice do sólido é o ponto V, com 1 de cota.

Questão 1 Paralelismo e Perpendicularidade ou Distâncias


Determine os traços do plano  que contém o ponto B e é paralelo ao plano .

– o plano  é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto A (-3;5;5);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a esquerda, e de 30º, de abertura para a direita, respectivamente;
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 35º de abertura para a esquerda;
– o plano contém o ponto B (4;3;4).

Questão 2 Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento)


Determine as projecções de um quadrado [ABCD], de acordo com os seguintes dados:
- O quadrado está contido no plano oblíquo ;
- O traço horizontal do plano plano  faz um ângulo de 45º (ae) e intersecta o eixo dos X num ponto com -5 de abcissa
-.O ponto O(0;3;4) é o centro do polígono.
- O vétice “A” situa-se sobre a mesma recta de maior declive que o centro “O” e tem 1 de cota.

 

Questão 3 Sombras de sólidos

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide pentagonal regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine a sombra própria do sólido e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
– a base [ABCDE] está contida num plano frontal;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 7 de afastamento;
- o vértice “A” da base tem 6 de abcissa e 6 de cota

– o vértice do sólido é o ponto V, com 1 de afastamento.

GDA I - Teste 1.2

Enunciado do Teste 1.2   Versão A  Versão B

Resolução da Versão B

Apoio GDA e Plano 2010 - 2011

GDA II - Teste 1.2

Matriz:
3 questões de resolução obrigatória

Questão 1 (50 pontos)


Paralelismo e Perpendicularidade
ou Distâncias
Exercícios Aproged:
PARALELISMO DE RECTAS E PLANOS
PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS
PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS

Questão 2 (70 pontos)


Figuras Planas situadas em qualquer tipo de plano (rebatimento) podendo incluir a determinação das sombras no planos de projecção


Exercícios Aproged:
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS OBLÍQUOS
FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A PLANOS DE RAMPA
SOMBRAS DE FIGURAS PLANAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

Questão 3 (80 pontos)


Construção de um sólido geométrico regular ou irregular e determinação das suas Sombras (Própria e Projectada nos planos de projecção)


Exercícios Aproged:
SOMBRAS DE SÓLIDOS SOBRE OS PLANOS DE PROJECÇÃO

GDA I - Teste 1.2

Matriz:
3 questões de resolução obrigatória

Questão 1


Relação Ponto/Recta, Rectas Complanares e seus pontos notáveis.


Concorrência (ponto comum) e Paralelismo de Rectas

Questão 2


Sólidos regulares com bases paralelas ao Plano Frontal ou ao Plano Horizontal.


Rectas e pontos situados nas faces ou na superfície dos sólidos anteriores
(rectas comuns a um mesmo plano)

Questão 3


Intersecção das faces de sólidos regulares com planos horizontais, frontais ou com os bissectores.


(recta comum a dois planos)

100.000 visitas

Agradecemos aos visitantes o interesse revelado por este blogue.

Atingimos, hoje, 100.000 visitas (por um visitante de Braga) e quase 40.000 visitantes.

GDA II - O que se segue

Tal como em anos anteriores, e com o objectivo de "descomprimir" um pouco do elevado nível de complexidade dos conteúdos relativos a "Problemas métricos" e "Paralelismo/Perpendicularidade", é alterada sequência da planificação, incluindo, neste primeiro período, os conteúdos "Sólidos de bases não projectantes e Sombras de Sólidos".


Pelo maior interesse que a maioria dos alunos revela pelas "Sombras" e pelo grau de complexidade menor, esperamos conseguir uma maior motivação e empenho por parte dos alunos.









Ficam aqui dois desenhos a ilustrar estes próximos conteúdos até ao Natal.

GDA II - Teste 1.1 - Questão 1 - Paralelismo e Perpendicularidade

Enunciado e Resolução em PDF



Questão 1 V1  Paralelismo e Perpendicularidade

25min
(resolução de Sara Baptista)

Determine os traços de um plano teta paralelo à recta “a” e perpendicular ao plano alfa

O plano teta contém o ponto Q(0;3;4)
A recta a contém o ponto A(6;2;3), a sua projecção horizontal faz 45º (ad) e a sua projecção frontal faz 30º (ad) com o eixo dos X
O plano alfa é perpendicular ao beta24, intersecta o eixo dos X no ponto de abcissa –6 e o seu traço horizontal faz, com este, 45º (ad)

Resolução:
Um Plano é paralelo a uma Recta quando contém uma recta paralela à dada.
Um Plano é perpendicular a outro plano quando contém uma recta que lhe é perpendicular.

Neste caso a aplicação é directa, colocaram-se duas rectas a passar no ponto Q, uma paralela à recta "a" e outra perpendicular ao plano alfa.
O plano definido pelas rectas encontradas é o plano pretendido. 

Questão 1 V2 Perpendicularidade

25 min
(resolução de Bruno Barbosa)

Determine as projecções de um plano alfa que contém a recta r e é perpendicular ao plano beta.

A recta “r” contém os pontos R(3;2;7) e S(0;6;3)
O plano beta intersecta o eixo dos X no ponto de abcissa –5, é perpendicular ao beta13 e o seu traço horizontal faz 60º (ae) com o eixo dos “X”

Resolução:
Semelhante ao exercício anterior, apenas tivemos que colocar uma recta perpendicular ao plano alfa, passando num ponto da recta "r".
O plano pretendido fica então definido pelas duas rectas concorrentes.

GDA II - Teste 1.1 - Questão 2 - Perpendicularidade

Questão 2 V1  Perpendicularidade
(equivalente a distância)
(resolução de David Gonçalves)

25 min

Determine as projecções da recta a que contém o ponto A(4;5;0) e é perpendicular à recta b

A recta b é de perfil, passante e contém o ponto B(-2;5;7)



Resolução:
Este exercício é basicamente semelhante a uma distância Ponto / Recta de Perfil.


Ambos os alunos optaram pelo rebatimento do plano de perfil para determinar a intersecção do plano de rampa que contém o ponto e é perpendicular à recta de perfil. 
Como o plano (de rampa) obtido é, "na 3.ª projecção, como que um plano de topo" foi aí que determinaram também o ponto de intersecção da recta de perfil com esse plano que lhe é perpendicular.

Questão 2 V2  Perpendicularidade
(equivalente a distância)
(resolução de Bruno Barbosa)
 

25 min

Determine as projecções da recta a que contém o ponto A(4;0;5) e é perpendicular à recta b

A recta b é de perfil, passante e contém o ponto B(-2;7;5)

GDA II - Teste 1.1 - Questão 3 - Distâncias

Questão 3 V1    Distâncias  (resolução de David Gonçalves)
30 min

Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (4;5;6) e o plano alfa 

O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(-7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ad) com o eixo dos “X”

Questão 3 V2    Distâncias (resolução de Bruno Barbosa)  

30 min

Determine a VG (verdadeira grandeza) da distancia entre o ponto P (-4;5;6) e o plano alfa

O plano alfa contém os pontos A(0;3;2) e B(7; 5;5) e o seu traço horizontal faz 45º (ae) com o eixo dos “X”


Resolução:
Esta distância baseia-se nos mesmos princípios da questão 1 (perpendicularidade recta/plano)
Claro que quem quer raciocinar um pouco, olha à sua volta, procura um ponto e um plano (por exemplo o nariz do professor e a parede)
Claro que concluirá que a distância entre ambos se consegue com uma perpendicular à parede.
Então o processo é simples, passa uma recta pelo nariz do professor e procura o ponto onde essa recta "fura" a parede, ou seja a intersecção recta/plano.
Após isso basta rodar o segmento entre os pontos (nariz e furo na parede) de forma a colocar numa posição frontal ou horizontal, para que toda a turma veja a verdadeira grandeza.

GDA I - Teste 1.1

Enunciado da Prova
Resolução de Gisele Araújo

1. Representação do PONTO
Represente os seguintes pontos e indique, com siglas, os locais onde se encontram. (siglas: PHp, PFp, b13, b24, ID, IID, IIID, IVD)

A(9;6;6)

B(6;6;-4)

C(3;7;0)

D(-1;-3;3)

E(-3;0;5)

F(-6;-6;-6)
G(-9;5;5)

2. Percurso e pontos notáveis da recta
Represente a recta “a” definida pelos pontos A(4;5:6) e B(-4;2;-1)

Determine os seus pontos notáveis. (H,F,Q,I)

Indique o percurso da recta ao longo dos diedros.

Coloque, na recta, um ponto P com 3 de afastamento

3. Alfabeto da Recta
Represente as seguintes rectas.

indique os seus nomes e as suas características.

a definida por A(11;4;8) e B(7;2;8)

n definida por G(-6;-3;7) H(-9;-3;2)
t definida por M(-11;6;6) N(-11;2;6)
g definida por U(1;7;3) e V(-3;7;3)

c definida por C(4;3;5) e D(4;3;0)

4. Rectas complanares (concorrentes e paralelas)

Representa a recta “a” e “b” sabendo:

As rectas são concorrentes no ponto P(1;5;4)

A recta “a” contém o ponto A(5;2;7)

A recta “b” contém o ponto B(-4;5;9)

  Represente a recta “f“ de intersecção do plano (que contém as rectas “a” e “b”) com o plano frontal de projecção. 

Represente uma recta “n” horizontal (de nível), com 8 de cota, complanar com as rectas “a” e “b”

Paralelismo entre Rectas

Rectas paralelas apresentam-se sempre paralelas em todas as suas projecções.

Todas as rectas (não de perfil) que se apresentam paralelas entre si na projecção horizontal e na projecção frontal são espacialmente paralelas entre si.

As rectas de perfil, para garantirem o seu paralelismo, requerem uma 3.ª projecção ou um método que garanta que são complanares.

Neste primeiro exemplo à esquerda optamos por representar a 3.ª projecção.

  

Neste segundo exemplo optamos por colocar mais duas rectas concorrentes entre e com as rectas de perfil, garantindo assim que são complanares.

"Quem souber representar o ponto a recta e o plano sabe toda a geometria descritiva".

As intersecções são na realidade relações ponto/recta/plano e sem o seu o perfeito domínio será impossível obter um bom resultado no Exame Nacional. Vamos trabalhar para vercer algumas destas dificuldades.

Lembre-se Ponto/recta/plano

A Lua hoje de madrugada - Sombra de uma Esfera

 

Boas Férias

Exame Geometria Descritiva 2010 fase 2 - Proposta de Resolução

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Enunciado da prova

Critérios de Classificação

Clique nas Imagens para ampliar

Questão 1 - Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

Dados
– o plano α é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a

direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;

– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;

– o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

Proposta de resolução: Na primeira solução não representamos as rectas a e b pois já que se conheciam as suas direcções bastou representar as rectas a´ e b´, com as mesmas direcções, passando no ponto P.

Desta forma as rectas representadas, porque são paralelas às primeiras, definem o plano π (pi) paralelo a α (alfa)

Nota: Nos Critérios de Classificação são atribuidas cotações à representação do ponto "S" e das rectas "a" e "b", e até aos traços do plano alfa, no entanto tal representação não é solicitada no enunciado.

É possível resolver esta questão sem recurso à representação das rectas fornecidas e dos traços do plano delta, sendo conhecidas como são as direcções das rectas do primeiro plano, basta criar duas novas rectas, com a mesma direcção das anteriores, a conterem o ponto P, dessa forma garantimos que o plano que contém estas segundas rectas é paralelo ao primeiro plano.

Questão 2 - Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes;

– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;

– o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

Proposta de Resolução: Colocamos um ponto P qualquer e por ele fizemos passar duas rectas perpendiculares aos planos. (julgamos que não é absolutamente necessário representar os planos dados pois aqui novamente são conhecidas as suas direcções) Rebatemos a recta perpendicular ao plano obliquo δ usando como eixo a recta perpendicular ao plano de topo θ, já que esta última é frontal.

Questão 3 - Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do prisma.

Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.

Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

Dados

– as bases estão contidas em planos de perfil;

– os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respectivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE];

– o plano de perfil da outra base tem – 5 de abcissa;

– a direcção luminosa é a convencional.
.

Questão 4 - Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico: – trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos
– os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular:

– uma base está situada no plano coordenado horizontal xy;

– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular:

– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;

– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

Resultados dos Exames de 2010

Hoje é dia de Resultados.
(os nacionais podem ser consultados aqui)

Os alunos que detectarem uma grande diferença, entre a classificação esperada e a obtida na pauta, devem pedir uma cópia do exame e confrontar a prova com os critérios de classificação (tabela aqui)

O Professor estará disponível na escola toda a manhã de Segunda 12 para verificar/discutir eventuais fundamentos para pedidos de reapreciação de provas. Consultar este site tipo FAQ para conhecer os procedimentos

Para os alunos que conseguiram os resultados pretendidos desejo-lhes uma boas e grandes Férias.

Na média, os nossos alunos corresponderam ao previsto.

Parabéns a todos, mas particularmente à Juliana, ao Pedro, à Vanessa e ao Wilson.

Aqui ficam estes gráficos comparativos dos resultados desta escola.

Deve ser esclarecido que a média nacional caíu 1,5 valores. Resolvi portanto alterar a relação da diferença entre as classificações internas-externas para a diferença da "queda" das respectivas classificações. (gráfico de cima)